Fisher information for solutions of the Boltzmann equation
[L’information de Fisher des solutions de l’équation de Boltzmann]
Cyril Imbert1
1Département de mathématiques et applications, École normale supérieure, Université PSL, CNRS, 75005 Paris, France
Journées équations aux dérivées partielles (2025), Exposé no. 2, 13 p.

This note reviews a recent contribution about the Fisher information for the space-homogeneous Boltzmann equation by L. Silvestre, C. Villani and the author (arXiv, 2024). This classical functional from information theory is shown to be non-increasing along the flow of the non-linear PDE for all physically relevant particle interactions. The proof consists in establishing a new functional inequality on the sphere of Log-Sobolev type. This new a priori estimate on solutions yields global-in-time well posedness of the equation, in particular in the case of very singular interactions, a left open question up to this work.

Cette note est consacrée à un résultat récemment obtenu par L. Silvestre, C. Villani et l’auteur de ce texte sur l’information de Fisher pour l’équation de Boltzmann homogène en espace (arXiv, 2024). Nous verrons que cette fonctionnelle de la théorie de l’information décroît le long du flot de l’équation non-linéaire pour toutes les interactions interparticulaires physiquement importantes. La démonstration consiste à établir une nouvelle inégalité fonctionnelle sur la sphère de type Log-Sobolev. Cette nouvelle estimée a priori sur les solutions permet de montrer le caractère bien posé de l’équation, notamment dans le cas des interactions très singulières, une question restée ouverte jusqu’à ce travail.

Publié le :
DOI : 10.5802/jedp.693
Classification : 76P05, 82C40, 29B72, 35A01
Keywords: The Boltzmann equation, Fisher information, Log-Sobolev inequality
Mots-clés : L’équation de Boltzmann, information de Fisher, inégalité de log-Sobolev

Cyril Imbert  1

1 Département de mathématiques et applications, École normale supérieure, Université PSL, CNRS, 75005 Paris, France 
Cyril Imbert. Fisher information for solutions of the Boltzmann equation. Journées équations aux dérivées partielles (2025), Exposé no. 2, 13 p.. doi: 10.5802/jedp.693
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