[Procédé de corrugation et applications -isométriques]
L’intégration convexe est une théorie développée dans les années 70 par M. Gromov. Cette théorie permet de résoudre des familles de problèmes différentiels vérifiant certaines hypothèses de convexité. A partir d’une sous-solution, elle construit itérativement une solution en appliquant une succession d’intégrations convexes. Dans un précédent article [6], on a proposé une formule, appelés procédé de corrugation, alternative à la formule d’intégration convexe. Cette nouvelle formule est particulièrement intéressante dans le cas où le problème différentiel considéré possède la propriété d’être de Kuiper. Ici on considère le problème différentiel des applications -isométriques et on prouve qu’il vérifie la propriété d’être de Kuiper en codimension 1. A titre d’application, nous montrons comment construire directement des applications -isométriques à partir d’applications courtes ayant une singularité conique.
Convex Integration is a theory developed in the ’70s by M. Gromov. This theory allows to solve families of differential problems satisfying some convex assumptions. From a subsolution, the theory iteratively builds a solution by applying a series of convex integrations. In a previous paper [6], we proposed to replace the usual convex integration formula by a new one called Corrugation Process. This new formula is of particular interest when the differential problem under consideration has the property of being of Kuiper. In this paper, we consider the differential problem of -isometric maps and we prove that it is Kuiper in codimension 1. As an application, we construct -isometric maps from a short map having a conical singularity.
Keywords: differential geometry, convex integration, isometric maps
Mot clés : géométrie différentielle, intégration convexe, isométries
@article{TSG_2017-2019__35__245_0,
author = {M\'elanie Theilli\`ere},
title = {Corrugation {Process} and $\epsilon ${-Isometric} {Maps}},
journal = {S\'eminaire de th\'eorie spectrale et g\'eom\'etrie},
pages = {245--264},
publisher = {Institut Fourier},
address = {Grenoble},
volume = {35},
year = {2017-2019},
doi = {10.5802/tsg.370},
language = {en},
url = {https://proceedings.centre-mersenne.org/articles/10.5802/tsg.370/}
}
TY - JOUR AU - Mélanie Theillière TI - Corrugation Process and $\epsilon $-Isometric Maps JO - Séminaire de théorie spectrale et géométrie PY - 2017-2019 SP - 245 EP - 264 VL - 35 PB - Institut Fourier PP - Grenoble UR - https://proceedings.centre-mersenne.org/articles/10.5802/tsg.370/ DO - 10.5802/tsg.370 LA - en ID - TSG_2017-2019__35__245_0 ER -
%0 Journal Article %A Mélanie Theillière %T Corrugation Process and $\epsilon $-Isometric Maps %J Séminaire de théorie spectrale et géométrie %D 2017-2019 %P 245-264 %V 35 %I Institut Fourier %C Grenoble %U https://proceedings.centre-mersenne.org/articles/10.5802/tsg.370/ %R 10.5802/tsg.370 %G en %F TSG_2017-2019__35__245_0
Mélanie Theillière. Corrugation Process and $\epsilon $-Isometric Maps. Séminaire de théorie spectrale et géométrie, Tome 35 (2017-2019), pp. 245-264. doi : 10.5802/tsg.370. https://proceedings.centre-mersenne.org/articles/10.5802/tsg.370/
[1] -principle and rigidity for isometric embeddings, Nonlinear partial differential equations. The Abel symposium 2010 (Abel Symposia), Volume 7, Springer, 2012, pp. 83-116 | DOI | MR | Zbl
[2] Partial differential relations, Springer, 1986 | Zbl
[3] On -isometric imbeddings, Indag. Math., Volume 17 (1955), pp. 683-689 | DOI | Zbl
[4] isometric imbeddings, Ann. Math., Volume 60 (1954), pp. 383-396 | DOI | MR | Zbl
[5] Convex integration theory, Monographs in Mathematics, 92, Birkhäuser, 1998 (Solutions to the -principle in geometry and topology) | MR | Zbl
[6] Convex Integration without Integration (2019) (https://arxiv.org/abs/1909.04908)
Cité par Sources :