[Polarities defined by a triangle]
A polarity of a projective plane is a map, often involutive, sending a generic point to a generic line and vice versa. The most classical polarity is the polarity with respect to a conic section, but others exists: the harmonic polarity with respect to a triangle, the polarities with respect to a higher degree algebraic curve, the polarity with respect to a convex.
In this article we introduce a polarity with respect to a triangle of the projective plane which is motivated by a question on duality of projective frames. We show that the four polarities above that apply to a triangle all coincide in this case. This result is an occasion to revue nice concepts in projective geometry, linear algebra and convex geometry.
Une polarité d’un plan projectif est une application, souvent involutive, envoyant un point générique sur une droite générique et réciproquement. La polarité la plus classique est la polarité par rapport à une conique, mais d’autres existent : la polarité harmonique par rapport à un triangle, les polarités par rapport à une courbe algébrique de degré supérieur, la polarité par rapport à un convexe.
Dans cet article nous introduisons une notion de polarité par rapport à un triangle du plan projectif, motivée par une question sur la dualité des repères projectifs. Nous montrons que les quatre polarités évoquées qui peuvent s’appliquer à un triangle coïncident dans ce cas. Ce résultat fournit un prétexte à passer en revue de jolis concepts de géométrie projective, d’algèbre linéaire et de géométrie convexe.
Mot clés : polarité, dualité, repère projectif, convexes.
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Benoît Kloeckner. Polarités définies par un triangle. Séminaire de théorie spectrale et géométrie, Volume 29 (2010-2011), pp. 51-71. doi : 10.5802/tsg.285. https://proceedings.centre-mersenne.org/articles/10.5802/tsg.285/
[1] Convexes hyperboliques et fonctions quasisymétriques, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. (2003) no. 97, pp. 181-237 | DOI | Numdam | MR | Zbl
[2] Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 | Zbl
[3] Analysis on symmetric cones, Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, New York, 1994 (Oxford Science Publications) | MR | Zbl
[4] Un bref aperçu de la géométrie projective, Calvage & Mounet, 2009 (à paraître)
Cited by Sources: