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  • Séminaire de théorie spectrale et géométrie
  • Tome 29 (2010-2011)
  • p. 51-71
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Polarités définies par un triangle
Benoît Kloeckner1
1 UJF-Grenoble 1, Institut Fourier, Grenoble, F-38041, France CNRS UMR 5582, Institut Fourier, Grenoble, F-38402, France
Séminaire de théorie spectrale et géométrie, Tome 29 (2010-2011), pp. 51-71.
  • Résumé
  • Abstract

Une polarité d’un plan projectif est une application, souvent involutive, envoyant un point générique sur une droite générique et réciproquement. La polarité la plus classique est la polarité par rapport à une conique, mais d’autres existent : la polarité harmonique par rapport à un triangle, les polarités par rapport à une courbe algébrique de degré supérieur, la polarité par rapport à un convexe.

Dans cet article nous introduisons une notion de polarité par rapport à un triangle du plan projectif, motivée par une question sur la dualité des repères projectifs. Nous montrons que les quatre polarités évoquées qui peuvent s’appliquer à un triangle coïncident dans ce cas. Ce résultat fournit un prétexte à passer en revue de jolis concepts de géométrie projective, d’algèbre linéaire et de géométrie convexe.

A polarity of a projective plane is a map, often involutive, sending a generic point to a generic line and vice versa. The most classical polarity is the polarity with respect to a conic section, but others exists: the harmonic polarity with respect to a triangle, the polarities with respect to a higher degree algebraic curve, the polarity with respect to a convex.

In this article we introduce a polarity with respect to a triangle of the projective plane which is motivated by a question on duality of projective frames. We show that the four polarities above that apply to a triangle all coincide in this case. This result is an occasion to revue nice concepts in projective geometry, linear algebra and convex geometry.

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DOI : 10.5802/tsg.285
Classification : 51N15, 51A05, 53A20
Mot clés : polarité, dualité, repère projectif, convexes.
Affiliations des auteurs :
Benoît Kloeckner 1

1 UJF-Grenoble 1, Institut Fourier, Grenoble, F-38041, France CNRS UMR 5582, Institut Fourier, Grenoble, F-38402, France
  • BibTeX
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  • EndNote
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Benoît Kloeckner. Polarités définies par un triangle. Séminaire de théorie spectrale et géométrie, Tome 29 (2010-2011), pp. 51-71. doi : 10.5802/tsg.285. https://proceedings.centre-mersenne.org/articles/10.5802/tsg.285/
  • Bibliographie
  • Cité par

[1] Yves Benoist Convexes hyperboliques et fonctions quasisymétriques, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. (2003) no. 97, pp. 181-237 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[2] J.-D. Eiden Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 | Zbl

[3] Jacques Faraut; Adam Korányi Analysis on symmetric cones, Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, New York, 1994 (Oxford Science Publications) | MR | Zbl

[4] Benoît Kloeckner Un bref aperçu de la géométrie projective, Calvage & Mounet, 2009 (à paraître)

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