On considère le modèle de relaxation magnétique décrit par H.K. Moffatt comme un moyen d’obtenir des solutions stationnaires des équations d’Euler de topologie prescrite. Il s’agit d’un système d’équations aux dérivées partielles non-linéaires formellement obtenu comme limite des équations de la magnétohydrodynamique idéale incompressible dans un régime dominé par la friction. Il autorise la diffusion de champs magnétiques tout en conservant leur topologie au cours de l’évolution, ce qui n’est pas le cas de l’équation de la chaleur ordinaire. La forte non-linéarité de ce système laisse largement ouverte l’étude de solutions classiques, mais sa structure très particulière permet d’adapter le concept de solutions dissipatives introduit par P.-L. Lions pour les équations d’Euler. On s’inspire aussi d’idées récemment introduites pour l’équation de la chaleur par Ambrosio, Gigli, Savaré et collaborateurs.
Enfin, on établit une équation de type Madelung pour les champs magnétiques.
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Yann Brenier. Diffusion de champs de vecteur conservant leur topologie et relaxation magnétique. Séminaire Laurent Schwartz — EDP et applications (2012-2013), Talk no. 20, 10 p. doi : 10.5802/slsedp.46. https://proceedings.centre-mersenne.org/articles/10.5802/slsedp.46/
[1] L. Ambrosio, N. Gigli, G. Savaré, Gradient flows in metric spaces and in the space of probability measures, Lectures in Mathematics ETH Zürich, Birkhäuser , 2008. | MR | Zbl
[2] L. Ambrosio, N. Gigli, G. Savaré, Calculus and heat flow in metric measure spaces and applications to spaces with Ricci bounds from below, Inventiones 2013, http://cvgmt.sns.it/paper/1645/.
[3] V.I. Arnold, B. Khesin, Topological methods in hydrodynamics, Applied Mathematical Sciences, 125, Springer-Verlag 1998. | MR | Zbl
[4] Y. Brenier, Topology-preserving diffusion of divergence-free vector fields and magnetic relaxation, . | arXiv
[5] Y. Brenier, C. De Lellis, L. Székelyhidi, László, Jr. Weak-strong uniqueness for measure-valued solutions, Comm. Math. Phys. 305 (2011) 351-361. | MR | Zbl
[6] S.Demoulini, D. Stuart, A. Tzavaras, Weak-strong uniqueness of dissipative measure-valued solutions for polyconvex elastodynamics, Arch. Ration. Mech. Anal. 205 (2012) 927-961. | MR
[7] M. Freedman, Z-X He, Divergence-free fields : energy and asymptotic crossing number, Ann. of Math. (2) 134 (1991) 189-229. | MR | Zbl
[8] N. Gigli, On the Heat flow on metric measure spaces : existence, uniqueness and stability, Calc. Var. Part. Diff. Eq., 39 (2010) 101-120. | MR | Zbl
[9] N. Gigli, K. Kuwada, S. I. Ohta, Heat Flow on Alexandrov spaces, CPAM 66 (2013) 307-331. | MR
[10] R. Jordan, D. Kinderlehrer, F. Otto, The variational formulation of the Fokker-Planck equation, SIAM J. Math. Anal. 29 (1998) 1-17. | MR | Zbl
[11] P.-L. Lions, Mathematical topics in fluid mechanics. Vol. 1. Incompressible models, Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, 3. 1996. | MR | Zbl
[12] E. Madelung, Quanten theorie in Hydrodynamischer Form, Zeit. F. Physik 40 (1927) 322.
[13] H. K. Moffatt, Magnetostatic equilibria and analogous Euler flows of arbitrarily complex topology, J. Fluid Mech. 159 (1985) 359-378. | MR | Zbl
[14] T. Nishiyama, Construction of the three-dimensional stationary Euler flows from pseudo-advected vorticity equations, R. Soc. Lond. Proc. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 459 (2003) 2393-2398. | MR | Zbl
[15] T. Nishiyama, Magnetohydrodynamic approaches to measure-valued solutions of the two-dimensional stationary Euler equations, Bull. Inst. Math. Acad. Sin. (N.S.) 2 (2007) 139-154. | MR | Zbl
[16] M. Sermange, R. Temam, Some mathematical questions related to the MHD equations, Comm. Pure Appl. Math. 36 (1983) 635-664. | MR | Zbl
Cited by Sources: