[Théorèmes de Courant et de Pleijel pour les Laplaciens sous-Riemanniens]
Dans cet exposé (présenté oralement aux journées EDP 2024 à Aussois par le deuxième auteur), nous nous intéressons au nombre d’ensembles nodaux de fonctions propres de sous-Laplaciens définis sur des variétés riemanniennes. Plus précisément, nous explorons la validité du théorème de Pleijel qui énonce que le nombre d’ensembles nodaux d’une fonction propre associée à une -ième valeur propre est strictement (et uniformément en un certain sens) inférieur à pour assez grand. Nous réduisons d’abord la question générale à celle pour des ouverts de groupes nilpotents. Nous analysons ensuite en détail le cas où le groupe nilpotent est le produit direct d’un groupe de Heisenberg et d’un espace Euclidien. En cours de route, nous sommes conduits à améliorer des bornes connues des constantes optimales pour les inégalités de Faber–Krahn ou isopérimétriques pour ces groupes. C’est une annonce (détaillée sur ArXiv) de résultats dont les preuves feront l’objet d’un futur article. Cette annonce reprend avec modification et inclusion de nouveaux résultats l’annonce plus détaillée présentée dans [10].
We are interested in the number of nodal domains of eigenfunctions of sub-Laplacians on sub-Riemannian manifolds. Specifically, we investigate the validity of Pleijel’s theorem, which states that the number of nodal domains of an eigenfunction corresponding to the -th eigenvalue is strictly (and uniformly, in a certain sense) smaller than for large . We first reduce this question from the case of general sub-Riemannian manifolds to that of nilpotent groups. Secondly, we analyze in detail the case where the nilpotent group is a Heisenberg group times a Euclidean space. Along the way we improve known bounds on the optimal constants in the Faber–Krahn and isoperimetric inequalities on these groups. This is an announcement and the proofs will be given in a future paper (see also in ArXiv). This announcement is a modification with inclusion of new results of the more detailed announcement published in [10].
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Rupert L. Frank; Bernard Helffer. On Courant and Pleijel theorems for sub-Riemannian Laplacians. Journées équations aux dérivées partielles (2024), Exposé no. 7, 12 p. doi : 10.5802/jedp.688. https://proceedings.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jedp.688/
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