Des liens inattendus ont été récemment mis à jour entre le transport optimal de Monge–Kantorovich et certains problèmes de géométrie riemannienne, en liaison avec la courbure de Ricci. Une des retombées de ces interactions est la naissance d’une théorie « synthétique » des espaces métriques mesurés à courbure de Ricci minorée, venant compléter la théorie classique des espaces métriques à courbure sectionnelle minorée. Dans ce texte (également fourni aux actes du Séminaire d’Équations aux dérivées partielles de l’École polytechnique), je passerai en revue ces développements de manière concise et informelle. Les notes bibliographiques renvoient à des sources plus complètes et précises.
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Cédric Villani. Transport optimal et courbure de Ricci. Séminaire de théorie spectrale et géométrie, Volume 24 (2005-2006), pp. 79-100. doi : 10.5802/tsg.242. https://proceedings.centre-mersenne.org/articles/10.5802/tsg.242/
[1] Ambrosio, L., Gigli, N., and Savaré, G. Gradient flows in metric spaces and in the space of probability measures. Lectures in Mathematics ETH Zürich. Birkhäuser Verlag, Basel, 2005. | MR | Zbl
[2] Brenier, Y. Décomposition polaire et réarrangement monotone des champs de vecteurs. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 305, 19 (1987), 805–808. | MR | Zbl
[3] Brenier, Y. Polar factorization and monotone rearrangement of vector-valued functions. Comm. Pure Appl. Math. 44, 4 (1991), 375–417. | MR | Zbl
[4] Brézis, H., and Lieb, E. Sobolev inequalities with a remainder term. J. Funct. Anal. 62 (1985), 73–86. | MR | Zbl
[5] Burago, D., Burago, Y., and Ivanov, S. A course in metric geometry, vol. 33 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. Une liste d’errata est disponible en ligne à http://www.pdmi.ras.ru/staff/burago.html. | Zbl
[6] Cabré, X. Nondivergent elliptic equations on manifolds with nonnegative curvature. Comm. Pure Appl. Math. 50, 7 (1997), 623–665. | MR | Zbl
[7] Cheeger, J., and Colding, T. H. On the structure of spaces with Ricci curvature bounded below. I. J. Differential Geom. 46, 3 (1997), 406–480. | MR | Zbl
[8] Cheeger, J., and Colding, T. H. On the structure of spaces with Ricci curvature bounded below. II. J. Differential Geom. 54, 1 (2000), 13–35. | MR | Zbl
[9] Cheeger, J., and Colding, T. H. On the structure of spaces with Ricci curvature bounded below. III. J. Differential Geom. 54, 1 (2000), 37–74. | MR | Zbl
[10] Cordero-Erausquin, D. Quelques exemples d’application du transport de mesure en géométrie euclidienne et riemannienne. Sémin. Théor. Spectr. Géom. 22 (2004), 125–152. | Zbl
[11] Cordero-Erausquin, D., McCann, R. J., and Schmuckenschläger, M. A Riemannian interpolation inequality à la Borell, Brascamp and Lieb. Invent. Math. 146, 2 (2001), 219–257. | MR | Zbl
[12] Cordero-Erausquin, D., Nazaret, B., and Villani, C. A mass-transportation approach to sharp Sobolev and Gagliardo-Nirenberg inequalities. Adv. Math. 182, 2 (2004), 307–332. | MR | Zbl
[13] Ding, Y. Heat kernels and Green’s functions on limit spaces. Comm. Anal. Geom. 10, 3 (2002), 475–514. | Zbl
[14] Gromov, M. Sign and geometric meaning of curvature. Rend. Sem. Mat. Fis. Milano 61 (1991), 9–123 (1994). | MR | Zbl
[15] Jordan, R., Kinderlehrer, D., and Otto, F. The variational formulation of the Fokker-Planck equation. SIAM J. Math. Anal. 29, 1 (1998), 1–17. | MR | Zbl
[16] Lott, J. Some geometric properties of the Bakry-Émery-Ricci tensor. Comment. Math. Helv. 78, 4 (2003), 865-883. | MR | Zbl
[17] Lott, J., and Villani, C. Ricci curvature for metric-measure spaces via optimal transport. À paraître dans Ann. of Math. Disponible en ligne à http://www.umpa.ens-lyon.fr/~cvillani/.
[18] Lott, J., and Villani, C. Weak curvature bounds and Poincaré inequalities. À paraître dans J. Math. Pures Appl. Disponible en ligne à http://www.umpa.ens-lyon.fr/~cvillani/.
[19] Maggi, F., and Villani, C. Balls have the worst best Sobolev inequalities. J. Geom. Anal. 15, 1 (2005), 83–121. | MR | Zbl
[20] Maggi, F., and Villani, C. Balls have the worst Sobolev inequalities. Part II : Variants and extensions. À paraître dans Calc. Var Partial Differential Equations.
[21] Maurey, B. Inégalité de Brunn-Minkowski-Lusternik, et autres inégalités géométriques et fonctionnelles. Astérisque, 299 (2005), Exp. No. 928, vii, 95–113. Séminaire Bourbaki. Vol. 2003/2004. | Numdam | MR | Zbl
[22] McCann, R. J. A convexity principle for interacting gases. Adv. Math. 128, 1 (1997), 153–179. | MR | Zbl
[23] McCann, R. J. Polar factorization of maps on Riemannian manifolds. Geom. Funct. Anal. 11, 3 (2001), 589–608. | MR | Zbl
[24] Milman, V. D., and Schechtman, G. Asymptotic theory of finite-dimensional normed spaces. Springer-Verlag, Berlin, 1986. Avec un appendice de M. Gromov. | MR
[25] Otto, F., and Villani, C. Generalization of an inequality by Talagrand and links with the logarithmic Sobolev inequality. J. Funct. Anal. 173, 2 (2000), 361–400. | MR | Zbl
[26] Rachev, S., and Rüschendorf, L. Mass Transportation Problems. Vol. I : Theory, Vol. II : Applications. Probability and its applications. Springer-Verlag, New York, 1998. | MR | Zbl
[27] Sturm, K.-T. On the geometry of metric measure spaces I, II. Acta Math. 196, 1 (2006), 65–177. | MR | Zbl
[28] Sturm, K.-T., and von Renesse, M.-K. Transport inequalities, gradient estimates, entropy and Ricci curvature. Comm. Pure Appl. Math. 58, 7 (2005), 923–940. | MR | Zbl
[29] Villani, C. Optimal transport, old and new. Notes de cours pour l’École d’été de Saint-Flour 2005, disponibles en ligne à http://www.umpa.ens-lyon.fr/~cvillani.
[30] Villani, C. Topics in optimal transportation, vol. 58 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003. | MR | Zbl
[31] von Renesse, M.-K. On local Poincaré via transportation. À paraître dans Math. Z. Disponible en ligne à math.MG/0505588.
Cited by Sources: