Obstructions quadratiques à la contrôlabilité, de la dimension finie à la dimension infinie
Frédéric Marbach1
1 Laboratoire Jacques-Louis Lions Université Pierre et Marie Curie (Paris VI) Boîte courrier 187 75252 Paris Cedex 05 France
Séminaire Laurent Schwartz — EDP et applications (2016-2017), Talk no. 16, 11 p.

On s’intéresse à la contrôlabilité locale en temps petit d’un système au voisinage d’un équilibre. Étant donné un petit temps imparti, une donnée initiale proche de l’équilibre et une donnée finale proche de l’équilibre, est-il possible de trouver un contrôle (un terme source) qui guide la solution du système depuis l’état initial vers l’état final souhaité dans le temps imparti ? La démarche naturelle consiste à commencer par étudier la contrôlabilité du système linéarisé au voisinage de l’équilibre. Lorsque celui-ci n’est pas contrôlable, il est nécessaire de poursuivre le développement à l’ordre quadratique.

Dans cette note, on fait le lien entre plusieurs résultats récents autour de cette thématique, dans le cas particulier où le contrôle est scalaire. Ces résultants laissent penser que, dans ce cas, l’ordre quadratique ne peut qu’apporter des obstructions à la contrôlabilité. On commente notamment un résultat exhaustif obtenu en collaboration avec Karine Beauchard en dimension finie et un résultat contenu dans la thèse de l’auteur qui fait apparaître un phénomène nouveau en dimension infinie.

Published online:
DOI: 10.5802/slsedp.106
Frédéric Marbach 1

1 Laboratoire Jacques-Louis Lions Université Pierre et Marie Curie (Paris VI) Boîte courrier 187 75252 Paris Cedex 05 France 
@article{SLSEDP_2016-2017____A16_0,
     author = {Fr\'ed\'eric Marbach},
     title = {Obstructions quadratiques \`a la contr\^olabilit\'e, de la dimension finie \`a la dimension infinie},
     journal = {S\'eminaire Laurent Schwartz {\textemdash} EDP et applications},
     note = {talk:16},
     publisher = {Institut des hautes \'etudes scientifiques & Centre de math\'ematiques Laurent Schwartz, \'Ecole polytechnique},
     year = {2016-2017},
     doi = {10.5802/slsedp.106},
     language = {fr},
     url = {https://proceedings.centre-mersenne.org/articles/10.5802/slsedp.106/}
}
TY  - JOUR
AU  - Frédéric Marbach
TI  - Obstructions quadratiques à la contrôlabilité, de la dimension finie à la dimension infinie
JO  - Séminaire Laurent Schwartz — EDP et applications
N1  - talk:16
PY  - 2016-2017
PB  - Institut des hautes études scientifiques & Centre de mathématiques Laurent Schwartz, École polytechnique
UR  - https://proceedings.centre-mersenne.org/articles/10.5802/slsedp.106/
DO  - 10.5802/slsedp.106
LA  - fr
ID  - SLSEDP_2016-2017____A16_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Frédéric Marbach
%T Obstructions quadratiques à la contrôlabilité, de la dimension finie à la dimension infinie
%J Séminaire Laurent Schwartz — EDP et applications
%Z talk:16
%D 2016-2017
%I Institut des hautes études scientifiques & Centre de mathématiques Laurent Schwartz, École polytechnique
%U https://proceedings.centre-mersenne.org/articles/10.5802/slsedp.106/
%R 10.5802/slsedp.106
%G fr
%F SLSEDP_2016-2017____A16_0
Frédéric Marbach. Obstructions quadratiques à la contrôlabilité, de la dimension finie à la dimension infinie. Séminaire Laurent Schwartz — EDP et applications (2016-2017), Talk no. 16, 11 p. doi : 10.5802/slsedp.106. https://proceedings.centre-mersenne.org/articles/10.5802/slsedp.106/

[1] Karine Beauchard and Camille Laurent. Local controllability of 1D linear and nonlinear Schrödinger equations with bilinear control. JMPA (9), 94(5) :520–554, 2010. | DOI | Zbl

[2] Karine Beauchard and Frédéric Marbach. Quadratic obstructions to small-time local controllability for scalar-input differential systems. May 2017. | arXiv | DOI | MR | Zbl

[3] Karine Beauchard and Morgan Morancey. Local controllability of 1D Schrödinger equations with bilinear control and minimal time. Math. Control Relat. Fields, 4(2) :125–160, 2014. | DOI | Zbl

[4] Jean-Michel Coron and Emmanuelle Crépeau. Exact boundary controllability of a nonlinear KdV equation with critical lengths. JEMS, 6(3) :367–398, 2004. | DOI | Zbl

[5] Hector Fattorini and David Russell. Exact controllability theorems for linear parabolic equations in one space dimension. Arch. Rational Mech. Anal., 43 :272–292, 1971. | DOI | MR | Zbl

[6] Robert Hermann. On the accessibility problem in control theory. In Internat. Sympos. Nonlinear Differential Equations and Nonlinear Mechanics, pages 325–332. Academic Press, New York, 1963. | DOI

[7] Rudolf Kalman, Yu-Chi Ho, and Kumpati Narendra. Controllability of linear dynamical systems. Contributions to Differential Equations, 1 :189–213, 1963.

[8] Matthias Kawski. High-order small-time local controllability. In Nonlinear controllability and optimal control, volume 133 of Monogr. Textbooks Pure Appl. Math., pages 431–467. Dekker, New York, 1990. | DOI | Zbl

[9] Bruce Lee and Lawrence Markus. Foundations of optimal control theory. Robert E. Krieger Publishing Co., Inc., Melbourne, FL, second edition, 1986.

[10] Frédéric Marbach. An obstruction to small time local null controllability for a viscous Burgers’ equation. November 2015. | arXiv | DOI | MR | Zbl

[11] Louis Nirenberg. On elliptic partial differential equations. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3), 13 :115–162, 1959. | Numdam | Zbl

[12] Lionel Rosier. Exact boundary controllability for the Korteweg-de Vries equation on a bounded domain. ESAIM Control Optim. Calc. Var., 2 :33–55, 1997. | DOI | Numdam | MR | Zbl

[13] Héctor Sussmann. Lie brackets and local controllability : a sufficient condition for scalar-input systems. SIAM J. Control Optim., 21(5) :686–713, 1983. | DOI | MR | Zbl

[14] Rodolfo Torres. Boundedness results for operators with singular kernels on distribution spaces. Mem. Amer. Math. Soc., 90(442) :viii+172, 1991. | DOI | MR | Zbl

[15] Abdellah Youssfi. Regularity properties of singular integral operators. Studia Math., 119(3) :199–217, 1996. | DOI | MR | Zbl

Cited by Sources: