Géométrie du groupe de Heisenberg
Pierre Pansu1
1 Laboratoire de Mathématiques d’Orsay, Univ. Paris-Sud, CNRS, Université Paris-Saclay, 91405 Orsay, France
Journées mathématiques X-UPS, Heisenberg et son groupe (2018), pp. 1-25.

On part d’un sujet de concours (X 2014) où est introduit le groupe de Heisenberg de dimension 3 : c’est l’ensemble des matrices 3×3 triangulaires supérieures et avec des 1 sur la diagonale. Les chemins de Carnot sont les chemins dont la vitesse, à translation à gauche près, est confinée dans un plan. La non-commutativité permet de relier deux éléments quelconques du groupe de Heisenberg par un chemin de Carnot, et de définir la distance de Carnot. Sa dimension de Hausdorff est 4. Tout est à l’avenant : bien qu’elle relève du calcul différentiel le plus ordinaire, la géométrie de Carnot est fractale. On tâchera de décrire la vie dans un univers aussi étrange. On expliquera aussi en quoi cette géométrie émerge de la thermodynamique, de la théorie du contrôle optimal, et comment elle est intimement attachée aux groupes nilpotents.

Publié le :
DOI : 10.5802/xups.2018-01
Pierre Pansu 1

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Pierre Pansu. Géométrie du groupe de Heisenberg. Journées mathématiques X-UPS, Heisenberg et son groupe (2018), pp. 1-25. doi : 10.5802/xups.2018-01. https://proceedings.centre-mersenne.org/articles/10.5802/xups.2018-01/

[BC99] Bernard Bonnard; Monique Chyba Méthodes géométriques et analytiques pour étudier l’application exponentielle, la sphère et le front d’onde en géométrie sous-riemannienne dans le cas Martinet, ESAIM Control Optim. Calc. Var., Volume 4 (1999), pp. 245-334 | DOI | Numdam | Zbl

[BLD13] Emmanuel Breuillard; Enrico Le Donne On the rate of convergence to the asymptotic cone for nilpotent groups and subFinsler geometry, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, Volume 110 (2013) no. 48, pp. 19220-19226 | DOI | MR | Zbl

[BR96] Sub-Riemannian geometry (André Bellaïche; Jean-Jacques Risler, eds.), Progress in Math., 144, Birkhäuser Verlag, Basel, 1996 | DOI

[Car09] C. Carathéodory Untersuchungen über die Grundlagen der Thermodynamik, Math. Ann., Volume 67 (1909) no. 3, pp. 355-386 | DOI

[CDPT07] Luca Capogna; Donatella Danielli; Scott D. Pauls; Jeremy T. Tyson An introduction to the Heisenberg group and the sub-Riemannian isoperimetric problem, Progress in Math., 259, Birkhäuser Verlag, Basel, 2007

[Edw75] David A. Edwards The structure of superspace, Studies in topology (Proc. Conf., Univ. North Carolina, Charlotte, NC, 1974), Academic Press, New York, 1975, pp. 121-133 | Zbl

[Gro81] Mikhael Gromov Structures métriques pour les variétés riemanniennes, Textes Mathématiques, 1, CEDIC, Paris, 1981 (Edité par J. Lafontaine and P. Pansu) | MR

[Mon02] Richard Montgomery A tour of subriemannian geometries, their geodesics and applications, Math. Surveys and Monographs, 91, American Mathematical Society, Providence, RI, 2002

[Mon08] Roberto Monti Heisenberg isoperimetric problem. The axial case, Adv. Calc. Var., Volume 1 (2008) no. 1, pp. 93-121 | MR | Zbl

[MR09] Roberto Monti; Matthieu Rickly Convex isoperimetric sets in the Heisenberg group, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5), Volume 8 (2009) no. 2, pp. 391-415 | Numdam | MR | Zbl

[Rif17] Ludovic Rifford Singulières minimisantes en géométrie sous-riemannienne, Séminaire Bourbaki. Vol. 2015/2016 (Astérisque), Volume 390, Société Mathématique de France, Paris, 2017, pp. 277-301 (Exp. No. 1113) | Zbl

[RR08] M. Ritoré; C. Rosales Area-stationary and stable surfaces in the sub-Riemannian Heisenberg group ℍ 1 , Mat. Contemp., Volume 35 (2008), pp. 185-203 | MR | Zbl

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