Initiation à la fonctionnelle de Mumford-Shah
Antoine Lemenant1
1 Université Paris Diderot – Paris 7, CNRS, UMR 7598, Laboratoire Jacques-Louis Lions, Paris, F-75005, France
Journées mathématiques X-UPS, Une invitation à la théorie géométrique de la mesure (2017), pp. 117-143.

Le but de ce texte est de montrer comment les outils de théorie de la mesure géométrique interviennent dans l’étude de la fonctionnelle de Mumford-Shah et de ses minimiseurs. Cette fonctionnelle sert à la résolution d’au moins deux problèmes bien concrets : la segmentation d’image (trouver les contour d’une image donnée), et la propagation de fissures en mécanique des milieux continus. Après une courte introduction de la fonctionnelle et de sa minimisation, on mettra en évidence certains problèmes mathématiques difficiles qu’elle soulève, dont notamment la fameuse « conjecture de Mumford-Shah ». On expliquera comment l’espace fonctionnel SBV sert à montrer l’existence d’un minimiseur. Dans une deuxième partie, on présentera une méthode numérique utile en pratique pour calculer un minimiseur approché. Celle-ci est basée sur une approximation dite « par champ de phase » qui est utilisée aussi pour d’autres problèmes d’optimisation (notamment en optimisation de forme comme le problème isopérimétrique, le problème à N-phases, etc.).

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DOI : 10.5802/xups.2017-03
Antoine Lemenant 1

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