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\begin{document}
\frontmatter
\title{Géométries combinatoires}

\author{\firstname{Omid} \lastname{Amini}}
\address{CNRS - CMLS, École Polytechnique}
\email{omid.amini@polytechnique.edu}
\urladdr{http://omid.amini.perso.math.cnrs.fr/}

\thanks{Journées X-UPS 2025. Combinatoire et géométries exotiques. Éditions de l'École polytechnique, 2026}

\begin{abstract}
Dans la première partie du texte, nous donnons quelques repères historiques sur les interactions entre la combinatoire et la géométrie complexe, en mettant particulièrement l’accent sur l’appli\-cation à la résolution de problèmes combinatoires des propriétés dites de positivité dans des contextes algébriques. Cela inclut notamment la classification des $f$-vecteurs des polytopes, l’étude des phénomènes de log-concavité en combinatoire et l'exploration de la géométrie des matroïdes.

Dans la deuxième partie, nous expliquons comment mettre en perspective ces liens à travers le développement d'une géométrie complexe pour les espaces exotiques (tropicaux, hybrides, etc.). Les interactions vont alors dans les deux sens, avec l'utilisation de la combinatoire pour résoudre des problèmes issus de la géométrie complexe.
\end{abstract}

\maketitle
%\vspace*{\baselineskip}\enlargethispage{-\baselineskip}
\vspace*{-\baselineskip}%\enlargethispage{\baselineskip}
\tableofcontents
\mainmatter

\section{Introduction}
Dans cette section, $G = (V, E)$ désigne un graphe fini, où $V$ est l'ensemble de sommets et $E$ est l'ensemble d'arêtes. On~désigne par~$n$ le nombre de sommets et par $m$ le nombre d’arêtes de $G$. Pour un entier positif $k$, on note $[k]$ l’ensemble des entiers $1, \dots, k$.

\subsection{Coloriage de graphes}

Un \emph{coloriage propre} de $G$ est une application
\[
\phi\colon V \to [k], \qquad k \in \mathbb{Z}_{>0},
\]
telle que pour toute arête $uv$ dans $E$, on ait $\phi(u) \neq \phi(v)$. Un exemple est donné dans la figure ci-dessous.

\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[scale=.6]{petersen6.png}
\end{center}
\caption{Un coloriage du graphe de Petersen avec trois couleurs.}
\end{figure}

L’un des théorèmes les plus popularisés en mathématiques est le théorème des quatre couleurs.
\begin{thm}[Appel--Haken 1976]
Tout graphe planaire admet un coloriage propre avec au plus quatre couleurs.
\end{thm}
Nous renvoyons au texte de synthèse de Robin Thomas~\cite{Thomas} pour un aperçu historique de ce théorème. Ce qui nous intéresse ici est l’une des premières approches au problème, proposée par Birkhoff, qui suggéra d’utiliser des méthodes algébriques pour en démontrer la validité. Plus précisément, Birkhoff introduit la fonction de comptage suivante. On~définit
\begin{gather*}
\chi_G\colon \N \to \Z, \quad \text{en posant, pour tout entier naturel $k$},
\\
\chi_G(k) = \text{nombre de coloriages propres de } G \text{ avec au plus } k \text{ couleurs}.
\end{gather*}
Pour le graphe de Petersen, on obtient les valeurs suivantes:
\[
\chi_G(2) =\nobreak 0,\quad \chi_G(3) = 120,
\]
et plus généralement, $\chi_G$ est la fonction polynomiale\vspace*{-5pt}
\begin{multline*}
\chi_G(k) = k(k-1)(k-2)\\
{}\times\bigl(k^7 - 12 k^6 + 67k^5 - 230 k^4+ 529k^3 -814 k^2 + 775 k - 352 \bigr).
\end{multline*}
En effet, on a le résultat général suivant.

\begin{thm}[Birkhoff 1912]
Pour tout graphe $G$, la~fonction de comptage $\chi_G$ est un polynôme.
\end{thm}

\begin{proof}
Pour tout entier naturel $r$, on définit $a_r$ comme le nombre de coloriages propres de $G$ utilisant exactement $r$ couleurs. Évidemment, on a $a_r = 0$ dès que $r \geq n + 1$.
Pour obtenir un coloriage propre de $G$ avec au plus $k$ couleurs, on choisit d’abord $r$ couleurs parmi les $k$ couleurs pour $r\in[k]$, qui seront toutes les couleurs utilisées au moins une fois, puis on compte le nombre de coloriages propres utilisant exactement ces $r$ couleurs. Cela donne l’expression suivante:
\[
\chi_G(k) = \sum_{r=1}^{n} a_r \binom{k}{r},
\]
qui est clairement un polynôme en $k$.
\end{proof}

\begin{defi}[polynôme chromatique]
Le polynôme $\chi_G$ est appelé le \emph{polynôme chromatique} de $G$.
\end{defi}

\subsection{Suppression/contraction}
Une preuve alternative du théorème précédent peut être obtenue en observant l’équation récursive
\begin{equation}\label{eq:recursive}
\chi_G(k) = \chi_{G-e}(k) - \chi_{G/e}(k).
\end{equation}
Ici, $G-e$ désigne l’opération de \emph{suppression} de $e$ dans $G$, qui est le graphe $(V, E-e)$, et $G/e$ désigne l’opération de \emph{contraction} de $e$, qui est le graphe obtenu en supprimant $e$ du graphe, puis en identifiant les extrémités de $e$ en un seul sommet. En particulier, $G/e$ a $n-1$ sommets et $m-1$ arêtes. Plus tard, nous donnerons une incarnation géométrique des opérations de suppression et de contraction, qui s’avère être cruciale.

\begin{remark}[digression: polynôme de Tutte] Le polynôme chromatique est une spécialisation d'un autre polynôme associé à un graphe, le~\emph{polynôme de Tutte}, une perle en mathématiques. C’est un polynôme $\tutte_G(\x,\y)$ à deux variables associé à $G$, qui est dans un sens précis le polynôme universel des graphes satisfaisant à une équation récursive linéaire impliquant les opérations de suppression et de contraction.

Rappelons d'abord qu'une boucle dans un graphe est une arête dont les deux extrémités sont identiques.
Un pont est une arête dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes du graphe.

Le polynôme de Tutte $\tutte_G$ est défini comme suit. Si $e$ est une arête de $G$, alors nous imposons l’équation récursive
\begin{align}\label{eq:recursive-Tutte}
\tutte_G(\x,\y) =
\begin{cases}
\x \cdot \tutte_{G-e}(\x,\y) & \quad \text{si $e$ est un pont},\\
\y \cdot \tutte_{G-e}(\x,\y) & \quad \text{si $e$ est une boucle},\\
\tutte_{G-e}(\x,\y) + \tutte_{G/e}(\x,\y) & \quad \text{sinon}.
\end{cases}
\end{align}
Dans les deux premiers cas ci-dessus, quand $e$ un pont ou une boucle, il s'avère que $\tutte_{G-e}(\x,\y) = \tutte_{G/e}(\x,\y)$. Remarquons que les deux premières équations imposent que si $k$ parmi les $m$ arêtes de $G$ sont des ponts et que toutes les arêtes restantes sont des boucles, alors
\[
\tutte_G(\x,\y) = \x^k \cdot \y^{m-k}.
\]

Afin de voir que les équations récursives ci-dessus sont cohérentes, c’est-à-dire qu’elles mènent au même polynôme quel que soit le choix des arêtes $e$ dans la récursion, on peut utiliser la formule explicite découverte par Tutte pour $\tutte_G(\x,\y)$, donnée sous la forme
\[
\tutte_G(\x,\y) = \sum_{F\subseteq E} (\x-1)^{c(F)- c(E)} (\y-1)^{g(F)}
\]
où, pour un sous-ensemble $F \subseteq E$,
\begin{itemize}
\item
$c(F)$ désigne le nombre de composants connexes du sous-graphe $H = (V,F)$ de $G$ , et
\item
$g(F)$ désigne le \emph{genre} du graphe $(V,F)$, défini par
\[
g(F) = \abs{F} - \abs{V} + c(F).
\]
\end{itemize}
Un raisonnement direct montre que l'expression polynomiale ci-dessus satisfait à~\eqref{eq:recursive-Tutte}. Notons enfin que le polynôme chromatique est obtenu à partir du polynôme de Tutte par la formule suivante:
\[
\chi_G(k) = (-1)^{n-c(G)} k^{c(G)} \tutte_G(1-k,0).\qedhere
\]
\end{remark}

\subsection{Log-concavité des coefficients}
En utilisant~\eqref{eq:recursive}, et en procédant par récurrence, il est facile d'établir les propriétés suivantes. Tout d’abord,

\begin{itemize}
\item
si $G$ ne contient aucune boucle, alors $\chi_G$ est un polynôme de degré $n$.
\end{itemize}
C'est la condition que nous allons imposer. Écrivons donc le polynôme~$\chi_G$ sous la forme
\[
\chi_G(x) = a_0\x^n - a_1 \x^{n-1}+ \dots +(-1)^{n}a_n.
\]
Alors,
\begin{itemize}
\item
nous avons $a_0 = 1$, et $a_j \geq 0$ pour tout $j \in [n]$.
\end{itemize}

Résoudre le problème des quatre couleurs est équivalent au fait de montrer que $\chi_G(4) \neq 0$ pour un graphe planaire sans boucle. Cela a conduit à l’étude des propriétés du polynôme chromatique, et du comportement de ses coefficients. En particulier, Read et Welsh ont conjecturé en 1968 que la suite $a_0, a_1, \dots, a_n$ est log-concave, c'est-à-dire qu'elle satisfait aux inégalités
\[
a_j^2 \geq a_{j-1}a_{j+1} \qquad \text{ pour tout } j\in[n-1].
\]

Cette conjecture a été démontrée par June Huh en 2010 en utilisant la géométrie algébrique.

\begin{thm}[Huh~\cite{Huh12}] \label{thm:log-concavity-graphs} La suite $a_0, a_1, \dots, a_n$ est log-concave.
\end{thm}

Ce théorème a été généralisé par la suite à tout matroïde par Adiprasito, Huh et Katz en 2015. Ce résultat avait été conjecturé par Rota en 1971, Heron en 1972 et Welsh en 1976.

\begin{thm}[Adiprasito--Huh--Katz~\cite{AHK18}]\label{thm:log-concavity-matroids} Soit $\mat$ un matroïde de rang $r$ défini sur un ensemble de base $E$. Soit $\fcar_\mat(\x)$ le polynôme caractéristique de $\mat$, écrit sous la forme
\[
\fcar_\mat(\x) = a_0\x^r - a_1 \x^{r-1} + \dots + (-1)^r a_r.
\]
Alors, la~suite $a_0, \dots, a_r$ est log-concave.
\end{thm}

La définition des matroïdes et de leurs polynômes caractéristiques sera donnée dans la section~\ref{sec:matroides}. Si $G$ est un graphe, on lui associe alors le matroïde graphique défini à partir des arbres couvrants de $G$, que l'on note $\mat_G$. Le~polynômes chromatique $\chi_G(\x)$ de $G$ et le polynôme caractéristique de $\mat_G$ sont reliés par la relation suivante:
\[
\chi_G(\x) = \x^{c(G)} \fcar_{\mat_G}(\x).
\]
Le théorème~\ref{thm:log-concavity-matroids} généralise donc le théorème~\ref{thm:log-concavity-graphs}.

L’objectif de ce texte est de présenter une démonstration des résultats ci-dessus. Pour ce faire, nous allons
\begin{enumerate}
\item fournir une description combinatoire des coefficients des polynômes chromatiques et caractéristiques, obtenue par Huh et Katz dans~\cite{HK12};

\item associer une algèbre graduée à tout matroïde et formuler ses propriétés géométriques remarquables, qui permettent de démontrer les théorèmes ci-dessus et d'autres résultats intéressants;

\item associer un \emph{éventail tropical} à tout graphe et matroïde et expliquer en quoi il satisfait à un analogue géométrique de la suppression et de la contraction;

\item énoncer et prouver, en suivant une approche développée dans un article coécrit avec Piquerez~\cite{AP25}, des propriétés géométriques analogues pour une classe large d'éventails tropicaux appelés \emph{quasi-linéaires}.\enlargethispage{-3\baselineskip}%
\end{enumerate}

\section{Ensemble partiellement ordonné et fonction de Möbius}

Un \emph{poset}, ou \emph{ensemble partiellement ordonné}, est un ensemble $P$ muni d'une relation d'ordre partiel $\preceq$ qui est réflexive, antisymétrique et transitive. Autrement dit, pour tous éléments $a, b, c \in P$:

\begin{itemize}
\item
$a \preceq a$ (réflexivité),
\item
Si $a \preceq b$ et $b \preceq a$, alors $a = b$ (antisymétrie),
\item
Si $a \preceq b$ et $b \preceq c$, alors $a \preceq c$ (transitivité).
\end{itemize}

On peut donc comparer certains éléments d'un poset entre eux, mais pas nécessairement tous les éléments.

Si $P$ a un élément minimum, il sera noté $\hatz$. De manière similaire, si $P$ possède un élément maximum, il sera noté $\hatone$. Pour $x,y\in P$ avec $x\preceq y$, on définit l'intervalle fermé $[x,y] = \{z \mid x\preceq z\preceq y\}$. De~même, $
[x, y[{} = [x, y] \setminus \{y\}$, et on définit de manière analogue $]x,y]$ et $]x,y[$.

Dans cette section, nous étudions les propriétés combinatoires des posets, utilisées ultérieurement dans le texte.

\subsection{Fonction de Möbius et la formule d'inversion} Soit $ (P, \preceq) $ un poset fini. Soit $\OP$ l'ensemble constitué de toutes les paires ordonnées $(x, y)$ avec $x, y$ des éléments de $P$ qui satisfont à $x \preceq y$. En d'autres termes, $\OP$ correspond à l'ensemble des intervalles fermés de $P$.

La \emph{fonction de Möbius} de $P$ est la fonction à valeurs entières $\mu$ définie sur $\OP$ par les relations récursives suivantes:
\begin{align*}
\mu(x,x) &= 1 \quad \text{pour tout } x \in P, \text{ et }\\
\mu(x,y) &= -\sum_{z \in [x,y[} \mu(x,z).
\end{align*}

Soit $R$ un anneau (on prend souvent, mais pas toujours, $R = \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$).

\begin{thm}[formule d'inversion de Möbius]
Soit $(P, \preceq)$ un poset fini, et soit $f, g \colon P \to R$ deux fonctions.
\begin{itemize}
\item
Les relations suivantes sont équivalentes:
\begin{enumerate}
\item Pour tout $x$ dans $P$, $\quad f(x) = \sum_{y \succeq x} g(y)$.
\item Pour tout $x$ dans $P$, $\quad g(x) = \sum_{y \succeq x} \mu(x,y) f(y)$.
\end{enumerate}

\item
De manière similaire, les relations suivantes sont équivalentes:
\begin{enumerate}
\item Pour tout $x$ dans $P$, $\quad f(x) = \sum_{y \preceq x} g(y)$.
\item Pour tout $x$ dans $P$, $\quad g(x) = \sum_{y \preceq x} \mu(y,x) f(y)$.
\end{enumerate}
\end{itemize}
\end{thm}

La démonstration sera donnée dans la section~\ref{sec:proof-mobius-inversion}.

\begin{defi} Si $P$ possède un élément minimum $\hatz$, alors on pose
\[
\mu(x) = \mu(\hatz, x) \quad\text{pour tout } x \in P.\qedhere
\]
\end{defi}

\subsection{Digression: formule d'inversion en arithmétique}
Considérons $\mathbb{N}^{*} = \mathbb N\setminus \{0\}$ avec l'ordre partiel donné par $d \preceq n$ si $d \divise n$, c'est-à-dire si $d$ divise $n$. C'est un poset infini dont les intervalles sont tous finis.
Par ailleurs, nous avons un élément minimum $\hatz = 1$. La~fonction de Möbius est définie en utilisant la formule récursive de la section précédente.
\begin{prop}
La fonction de Möbius sur $\mathbb{N}^*$ est donnée par
\[
\mu(x, y) =
\begin{cases}
(-1)^\ell &\! \text{si } y/x \!=\! p_1 p_2 \cdots p_\ell \text{ avec des premiers distincts } p_j, \\
0 &\! \text{sinon}.
\end{cases}
\]
En particulier, $\mu(x, y) = \mu(\hatz, y/x) = \mu(y/x)$.
\end{prop}

\begin{proof} Il suffira de prouver que la récurrence est valide. La~première propriété de la définition de la fonction de Möbius, $\mu(x,x) = 1$, est satisfaite. La~seconde revient à vérifier que
\[
\sum_{z \in [x,y]} \mu(x,z) = 0
\]
pour $ x \prec y $, ce qui découle, en notant $ k $ le nombre de diviseurs premiers de $ y/x $, de l'identité,
\[
(1 - 1)^k = \sum_{J \subset [k]} (-1)^{\lvert J \rvert}. \qedhere
\]
\end{proof}

Soient $ f, g \colon \mathbb{N}^* \to \mathbb{Z} $ deux fonctions. Alors, nous avons l'équivalence entre

\begin{enumerate}
\item pour tout $x \in \mathbb{N}^*, \quad f(x) = \sum_{y \mid x} g(y)$, et
\item pour tout $x \in \mathbb{N}^*, \quad g(x) = \sum_{y \mid x} \mu(y, x) g(y).$
\end{enumerate}

\skpt
\begin{example}
\begin{enumerate}
\item Si on prend $g = 1$, alors $ f(x) $ correspond au nombre de diviseurs de l'entier $ x $, habituellement noté $ d(x)$. De manière plus générale, on peut définir
\[
\sigma_s(n) \coloneqq \sum_{d \mid n} d^s.
\]
Et ensuite, on trouve
\[
n^s \coloneqq \sum_{d \mid n} \mu\left(\sfrac{n}{d}\right) \sigma_s(d).
\]
En utilisant ces identités, on peut démontrer les égalités suivantes:
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)}{n^s} = \zeta(s) \zeta(s-a) \qquad \text{et}\qquad \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s} = \zeta(s)\sum_{n=1}^\infty \frac{g(n)}{n^s}
\]
où $\zeta(s)$ est la fonction zêta de Riemann.
\item Soit $ \phi $ la fonction d'Euler, qui, pour tout $ n \in \N^*$, donne le nombre $ \phi(n) $ d'entiers positifs premiers avec $ n $. Nous avons
\[
\sum_{d \mid n} \phi(d) = n \qquad \text{et} \qquad \phi(n) = \sum_{d \mid n} \mu\left(\sfrac{n}{d} \right) d.\qedhere
\]
\end{enumerate}
\end{example}

\Subsection{Algèbre d'incidence et démonstration de la formule d'inversion de Möbius}\label{sec:proof-mobius-inversion}

\Subsubsection{Algèbre d'incidence d'un ensemble partiellement ordonné} Soit $ R $ un anneau. Soit $ \mathscr{I} $ l'espace des fonctions à valeurs dans $ R $ définies sur les paires ordonnées $ (x, y) \in \OP $, c'est-à-dire
\[
\mathscr{I} \coloneqq \Bigl\{ f \colon \OP \to R, \quad (x,y) \mto f(x,y) \Bigr\}.
\]
On munit $\mathscr{I}$ d'un \emph{produit de convolution} noté $\sbt $ défini comme suit. Pour deux éléments $ f, g \in \mathscr{I} $, on pose
\[
f \sbt g(x, y) \coloneqq \sum_{z \in [x, y]} f(x, z) g(z, y).
\]
Cela transforme $ \mathscr{I} $ en une algèbre avec l'élément identité noté $ \delta $ et défini par
\[
\forall \, (x, y) \in \OP, \qquad \delta(x, y) \coloneqq
\begin{cases}
1 & \text{si } x = y, \\
0 & \text{sinon}.
\end{cases}
\]
Définissons la fonction $ \zeta \colon \OP \to R $ par $ \zeta(x, y) = 1 $ pour toute paire ordonnée $ (x, y) \in \OP $.

\begin{prop}
Dans $ \mathscr{I} $, on a l'égalité
\[
\mu \sbt \zeta = \delta.
\]
\end{prop}

\begin{proof}
Clairement, on a $ \mu \sbt \zeta(x, x) = 1 =\delta(x,x) $. Pour $ x \prec y $, l'équation $ \mu \sbt \zeta(x, y) =\delta(x,y) $ découle de la relation
\[
\sum_{z \in [x, y]} \mu(x, z) = 0,
\]
qui est la relation récursive dans la définition de $\mu$.
\end{proof}
\begin{prop}
On a également
\[
\zeta \sbt \mu = \delta.
\]
\end{prop}

\begin{proof}
Les fonctions $ \zeta $, $ \mu $ et $ \delta $ sont à valeurs entières. Il suffit donc de vérifier cette identité pour $ R = \mathbb{Q} $. L'application de multiplication
\[
\zeta \sbt - \colon \mathscr{I} \to \mathscr{I}
\]
est injective. En effet, si $ \zeta \sbt f = 0 $, alors en multipliant à gauche par~$ \mu $, on obtient
\[
f = \mu \sbt \zeta \sbt f = 0.
\]
Comme $ \mathscr{I} $ est une algèbre de dimension finie sur $ \mathbb{Q} $, il en résulte que l'application de multiplication par $ \zeta $ est aussi surjective. Il existe donc un élément $ h $ tel que $ \zeta \sbt h = \delta $, ce qui implique nécessairement que $\mu =h$, \ie $ \zeta \sbt \mu = \delta $.
\end{proof}
\subsubsection{Preuve de la formule d'inversion}

On définit $\mathscr{M}$ comme l'ensemble des fonctions à valeurs dans $R$ définies sur $ P $, c'est-à-dire
\[
\mathscr{M} \coloneqq \bigl\{ f \colon P \to R \bigr\}.
\]
Cet espace a naturellement la structure d'un $ \mathscr{I} $-\emph{module à gauche} en posant le produit $h \sbt f$ d'un élément $h\in \mathscr{I}$ et un élément $f \in \mathscr{M}$
\[
\forall\, x \in P, \qquad h \sbt f(x) \coloneqq \sum_{y \succeq x} h(x, y) f(y).
\]

L'équivalence dans la première partie du théorème s'écrit alors
\[
f = \zeta \sbt g \iff \mu \sbt f = g.
\]
Cela découle de la chaîne d'équivalences suivante:
\begin{align*}
f = \zeta \sbt g &\iff \mu \sbt f = \mu \sbt (\zeta \sbt g)\\
&\iff \mu \sbt f = (\mu \sbt \zeta) \sbt g
\iff \mu \sbt f = \delta \sbt g = g.
\end{align*}

\subsection{Treillis et le théorème de Weisner} Soit $ (P, \preceq) $ un poset. Pour une paire d’éléments $ x, y$ dans $ P $, un \emph{majorant} de $x$ et $y$ est un élément $z$ de $P$ qui satisfait à $ z \succeq x $ et $ z \succeq y $. De même, un \emph{minorant} de $ x $ et $ y $ est un élément $ z$ de $P $ qui satisfait à $ z \preceq x $ et $ z \preceq y $.

Un \emph{supremum} (s’il en existe une) est un plus petit majorant~$z$ de~$ x $ et~$ y $, de sorte que $ z \preceq w $ pour tout autre majorant $ w $ de $ x $ et $ y $. S'il existe, il est nécessairement unique; dans ce cas, on le note $ x \vee y $. On~définit de manière analogue l'\emph{infimum} de deux éléments $ x $ et $ y $, et le note $ x \wedge y $ (lorsqu’il existe).

\begin{defi}[treillis]
Un \emph{treillis} $ (L, \preceq) $ est un ensemble partiellement ordonné fini dans lequel, pour toute paire d’éléments $x$ et $y$, le~supremum $ x \vee y $ et l'infimum $ x \wedge y $ existent.
\end{defi}
Notons que tout treillis $ L $ possède un élément minimum $ \hatz $ ainsi qu’un élément maximum $ \hatone $, qui sont l'infimum et le supremum de tous les éléments de $ L $, respectivement.
De plus, tout intervalle fermé $ [x, y] \subseteq L $ est lui-même un treillis.

\begin{example} Tout intervalle $[a,b]$ dans $\N^*$ est un treillis. Le~poset des faces d'un polytope est un treillis. On~verra dans la section suivante que tout matroïde donne naissance à un treillis.
\end{example}

Le théorème suivant fournit une identité fondamentale due à Louis Weisner, qui permet de calculer efficacement la fonction de Möbius dans un treillis. Il jouera un rôle important dans les développements ultérieurs.

\begin{thm}[Weisner]\label{thm:weisner} Soit $L$ un treillis, et soit $ a \in L $ un élément distinct de $ \hatz $. Alors,
\[
\sum_{\substack{x \in L \\ x \vee a = \hatone}} \mu(x) = 0.
\]
Autrement dit,
\[
\mu(\hatone) = -\sum_{\substack{x \in L,\, x \neq \hatone \\ x \vee a = \hatone}} \mu(x).
\]
\end{thm}
Par les observations précédentes, on peut appliquer ce théorème à tout intervalle $ [x, y] \subseteq L $ afin d'obtenir une description concise de la valeur $ \mu(x, y) $ de la fonction de Möbius en $ (x, y) $. En particulier, comme corollaire immédiat, on trouve l'énoncé plus général suivant.

\begin{cor}
Soit $ P $ un poset admettant un élément minimal $ \hatz $, et soit $ z \in P $ tel que l’intervalle $ [\hatz, z] $ soit un treillis. Soit $ a \in [\hatz, z] $ un élément distinct de $ \hatz $. Alors on a
\[
\mu(z) = -\sum_{\substack{x \in [\hatz, z[ \\ x \vee a = z}} \mu(x).
\]
\end{cor}

\Subsection{Algèbre de treillis et preuve du théorème de Weisner}
Dans cette section, nous exploitons la structure algébrique des treillis pour démontrer le théorème de Weisner.

Soit $ (L, \preceq) $ un treillis. On~définit l'\emph{algèbre de treillis} $ \mathbb{Q}[L] $ de la manière suivante. Soit $\mathbb{Q}[L] $ le $\mathbb{Q} $-espace vectoriel librement engendré par les éléments de $L $, c'est-à-dire
\[
\mathbb{Q}[L] \coloneqq \bigoplus_{x \in L} \mathbb{Q}x = \bigl\{ \textstyle\sum_{x \in L} a_x \, x \mid a_x \in \mathbb{Q} \bigr\}.
\]
On définit une opération de multiplication notée $ \cdot $ sur $ \mathbb{Q}[L] $ en posant $ x \cdot y = x \vee y $ pour toute paire d'éléments $x,y\in L$, et on l'étend par linéarité à toute paire d'éléments de $ \mathbb{Q}[L] $. Autrement dit,
\[
\Bigl(\sum_{x} a_x x \Bigr) \cdot \Bigl(\sum_{y} b_y y \Bigr) = \sum_{x, y} a_x b_y (x \vee y).
\]
On vérifie aisément que cela donne à $\mathbb{Q}[L]$ une structure de $\Q$\nobreakdash-algèbre, dont l'élément identité est $\hatz$.

Dans la suite, nous allons expliciter un isomorphisme de $ \mathbb{Q} $-algèbres entre $ \mathbb{Q}[L] $ et la $ \mathbb{Q} $-algèbre $ \mathbb{Q}^{L} $, dans laquelle le produit de deux éléments $ (a_x)_{x \in L} $ et $ (b_x)_{x \in L} $ est l'élément $ (a_x b_x)_{x \in L} $.

Pour chaque $ x \in L $, on définit
\[
g_x \coloneqq \sum_{y \succeq x} \mu(x, y) y.
\]
Il découle de la formule d'inversion de Möbius que
\[
x = \sum_{y \succeq x} g_y.
\]
On en déduit que les $g_x$, pour $x\in L$, forment une base de $\Q$-espace vectoriel $\Q[L]$.
\begin{prop}\label{prop:alg-structure}
Pour $ x, y \in L $, on a
\[
g_x \cdot g_y = \begin{cases}
0 & \text{si } x \neq y, \\
g_x & \text{si } x = y.
\end{cases}
\]
\end{prop}
En d'autres termes, l'application $\Q$-linéaire $ \mathbb{Q}^L \to \mathbb{Q}[L] $ qui envoie l'élément $ e_x $ de la base standard de $ \mathbb{Q}^L $ sur $ g_x $ est l'isomorphisme de $ \mathbb{Q} $-algèbres recherché.

\begin{proof} Considèrons $\Q^L$ avec la structure de multiplication décrite au-dessus, \ie
\[
\Q^L = \bigoplus_{x \in L} \mathbb{Q} \, e_x
\]
avec le produit $ e_x \cdot e_y = 0 $ sauf si $ x = y $, auquel cas $ e_x \cdot e_x = e_x $.

Il suffit de montrer que le morphisme $\Q$-linéaire $ \phi \colon \mathbb{Q}[L] \to \Q^L $ défini par
\[
g_x \mto e_x, \qquad x \in L
\]
est un morphisme de $ \mathbb{Q} $-algèbres.

Pour $ x \in L $, comme
\[
x = \sum_{y \succeq x} g_y,
\]
$ \phi $ envoie $ x $ sur l'élément $ \phi(x)\in \Q^L $ donné par
\[
\phi(x) = \sum_{y \succeq x} e_y.
\]
Nous avons
\[
\phi(x) \cdot \phi(y) = \sum_{z \succeq x} e_z \cdot \sum_{z \succeq y} e_y = \sum_{z \succeq x, y} e_z = \sum_{z \succeq x \vee y} e_z = \phi(x \vee y).
\]
Nous concluons que $ \phi $ envoie $ x \cdot y $ sur $ \phi(x) \cdot \phi(y) $, ce qui implique que~$ \phi $ est un isomorphisme d'algèbres $ \mathbb{Q} $-algèbres, comme souhaité.
\end{proof}

\begin{proof}[Preuve du théorème de Weisner~\ref{thm:weisner}]
Nous travaillons dans l'algèbre de treillis $ \mathbb{Q}[L] $ introduite plus haut. Rappelons que nous avons deux ensembles de générateurs de $ \mathbb{Q}[L] $, le~premier étant constitué des éléments de $ L $, et le second des éléments $ g_z $, $ z \in L $, définis par
\[
g_z = \sum_{y \succeq z} \mu(z,y) y.
\]
Pour $a\in L$ fixé, considérons le produit $ a \cdot g_{\hatz} $. Nous obtenons deux façons d'exprimer ce produit. Premièrement, en regroupant les termes dans le produit,
\begin{equation}\label{eq:prod1}
\begin{aligned}
a \cdot g_{\hatz} &= a \cdot \Bigl(\sum_{y \in L} \mu(y) y \Bigr)\\
&= \sum_{y \in L} \mu(y) a \vee y = \sum_{x \in L} \biggl(\sum_{\substack{y \in L \\ a \vee y = x}} \mu(y) \biggr) x.
\end{aligned}
\end{equation}
D'autre part, à partir de l'expression $ a = \sum_{y \succeq a} g_y $, et en utilisant que $ a \neq \hatz$, nous obtenons
\begin{align}\label{eq:prod2}
a \cdot g_{\hatz} &= \Bigl(\sum_{y \succeq a} g_y \Bigr) \cdot g_{\hatz} = \sum_{y \succeq a} g_y \cdot g_{\hatz} = 0.
\end{align}

Une comparaison des coefficients de $ \hatone $ dans les expressions obtenues dans \eqref{eq:prod1} et \eqref{eq:prod2} donne le résultat.
\end{proof}

\subsection{Polynôme caractéristique d'un poset gradué}
Soit $(P, \preceq)$ un poset fini. Si $x, y$ sont des éléments distincts de $P$, on écrit $x\ssubface y$ si $x\prec y$ et il n'y a aucun élément $z$ de $P$ tel que $x\prec z\prec y$. Dans ce cas, on dit que \emph{$y$ couvre $x$}.

Un \emph{poset gradué} est un ensemble partiellement ordonné fini $(P, \preceq)$ muni d'une \emph{fonction rang}
\[
\rho \colon P \to \mathbb{Z}_{\geq 0}
\]
telle que, pour toute paire d'éléments $x$ et $y$ dans $P$ qui satisfait à $x\ssubface y$, on ait $\rho(y) = \rho(x) + 1$. On~suppose que la valeur minimum prise par~$\rho$ est 0, et on appelle \emph{rang de $P$}, noté $r =r(P)$, la valeur maximum prise par $\rho$.

Observons en particulier que toutes les chaînes maximales entre deux éléments $x \preceq y$ de $P$ ont la même longueur, donnée par $\rho(y) -\nobreak \rho(x)$.

Soit $P$ un poset gradué. On~appelle \emph{polynôme caractéristique de $P$} le polynôme $\fcar_P(\x)$ donné par
\[
\fcar_P(\x) = \sum_{z\in P} \mu(z) \x^{r-\rho(z)}.
\]

\subsection{Le cas d'un treillis géométrique}
Soit $L$ un treillis gradué avec la fonction de rang $\rho$. Un élément de rang $1$ dans $L$ est appelé \emph{atome}. Pour tout élément $x \in L$, on note $A_x$ l’ensemble des atomes~$a$ tels que $a \preceq x$. Le~treillis est dit \emph{atomique} si, pour tout élément $x$, on~a
\[
x = \bigvee_{a \in A_x} a,
\]
c'est-à-dire, tout élément de $L$ est déterminé de manière unique à partir de ses atomes (par exemple, un intervalle de type $[1,n]$ dans~$\N^*$ est atomique).

Un treillis gradué et atomique $L$ est dit \emph{géométrique} si sa fonction de rang $\rho$ est sous-modulaire, c’est-à-dire qu’elle satisfait aux inégalités suivantes:
\[
\rho(x)+ \rho(y) \geq \rho(x\vee y) + \rho(x \wedge y),\qquad \forall x,y \in L.
\]

En prenant $y = a$ un atome, pour tout $x$ dans un treillis géométrique $L$, on obtient:
\[
\rho(a\vee x) \leq \rho(x)+1.
\]

De manière équivalente, un treillis géométrique est un treillis gradué dans lequel chaque élément est déterminé par ses atomes et qui satisfait à la \emph{propriété du losange} suivante:

Pour toute paire d'éléments $x,y\in L$, si $x$ et $y$ couvrent touts les deux $x \wedge y$, alors leur supremum $x \vee y$ couvre à la fois $x$ et $y$, comme indiqué dans le schéma suivant
\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.1]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (0,1.4);
\coordinate (C) at (-0.7,0.7);
\coordinate (D) at (0.7,0.7);

\draw (C) -- (A) -- (D) ;
\draw (C) -- (B) -- (D) ;

\foreach \c in {A,B,C,D} {\fill[color=black] (\c) circle (2pt);
}
\node[below] at (A) {$x\wedge y$};
\node[above] at (B) {$x\vee y$};
\node[left] at (C) {$x$};
\node[right] at (D) {$y$};
\end{tikzpicture}
\end{figure}

Soit $L$ le treillis géométrique de rang $r+1$, avec la fonction de rang~$\rho$. On~considère le polynôme caractéristique $\fcar_L$ de $L$
\[
\fcar_L(\x) = \sum_{x\in L} \mu(x)\x^{r+1-\rho(x)},
\]
où $\mu(x) = \mu(\hatz,x)$ est la fonction de Möbius de $L$. L'objectif de ce qui va suivre est de donner une description combinatoire des coefficients de $\fcar_L$.

\subsubsection{Description combinatoire de $\mu(\hatone)$}
Une application du théorème de Weisner donne le résultat suivant.
\begin{prop}\label{cor:weisner-atom}
Soit $a$ un atome de $L$. Nous avons
\[
\mu(\hatone) = -\sum_{\substack{x \ssubface \hatone \\
x \not \supface a}} \mu(x).
\]
\end{prop}

\begin{proof}
La condition $x \vee a = \hatone$ implique que si $x \neq \hatone$, alors $\rho(x) = r$, ce qui signifie que $x \ssubface \hatone$. De plus, $x \not\supface a$, car sinon, $x \vee a = x \neq \hatone$. Le~résultat découle donc du théorème de Weisner.
\end{proof}
Soit $E=[m]$ l'ensemble des atomes de $L$. De cette manière, tout élément $x$ de $L$ peut être identifié à l'ensemble $A_x \subseteq [m]$. Notons que $A_{\hatz} = \emptyset$. Pour tout élément $x \neq \hatz$ dans le treillis, nous définissons $\min(x)$ comme
\[
\min(x) = \min(A_x),
\]
le minimum entier apparaissant dans $A_x \subseteq E=[m]$.

\begin{defi}
Une chaîne maximale $ \hatz \ssubface x_1 \ssubface x_2 \ssubface \dots \ssubface x_r \ssubface \hatone$ est dite \emph{décroissante} si
\[
\min(x_1) > \min(x_2) > \dots > \min(x_r) >1.
\]
Le nombre de chaînes maximales décroissantes dans $L$ sera noté $\dmc(L)$.
\end{defi}

\begin{thm}\label{thm:dmc}
Soit $L$ un treillis géométrique de rang $r+1$ dont l'ensemble des atomes est $E=[m]$. Alors, nous avons
\[
\mu(\hatone) = (-1)^{r+1} \dmc(L).
\]
\end{thm}

\begin{proof}
Cela sera obtenu par applications successives du théorème de Weisner. Prenant $a = 1 \in E$, nous pouvons écrire, en~utilisant la proposition~\ref{cor:weisner-atom},
\begin{align*}
\mu(\hatone) = -\sum_{\substack{y \ssubface \hatone \\
y \not \supface a}} \mu(y).
\end{align*}
La condition $y \not \supface 1$ est équivalente à $1 \notin A_y$, qui est elle-même équivalent à $\min(y) >1$.

En renommant $y$ en $x_r$ dans la somme ci-dessus, nous appliquons récursivement l'expression obtenue ci-dessus au treillis $[\hatz, x_r]$, qui a de ce treillis pour atomes les éléments indexés par $A_{x_r}$, et à l'atome~$a$ donné par $\min(x_r)$, qui est l'élément minimum de $A_{x_r}$. Cela donne
\begin{align*}
\mu(\hatone) &= -\sum_{\substack{x_r \ssubface \hatone \\
\min(x_r) > 1}} \mu(x_r)\\
&= (-1)^2 \sum_{\substack{x_r \ssubface \hatone \\
\min(x_r) > 1}} \sum_{\substack{x_{r-1} \ssubface x_r \\
\min(x_{r-1}) > \min(x_r)}} \mu(x_{r-1})\\
&= (-1)^2 \sum_{\substack{x_{r-1} \ssubface x_r \ssubface \hatone \\
\min(x_{r-1}) > \min(x_r) > 1}} \mu(x_{r-1}).
\end{align*}
En procédant de la même manière, nous obtenons
\begin{align*}
\mu(\hatone) &= (-1)^{r+1} \sum_{\substack{\hatz \ssubface x_{1} \ssubface \dots \ssubface x_{r-1} \ssubface x_r \ssubface \hatone \\
\min(x_1) > \dots > \min(x_{r-1}) > \min(x_r) > 1}} 1,
\end{align*}
ce qui donne le résultat.
\end{proof}

\subsubsection{Troncation d'un treillis géométrique}
Soit $L$ un treillis géométrique de rang $r+1$ avec la fonction rang $\rho$, et soit $k\leq r$ un entier positif. La~\emph{troncation de $L$ au rang $k$} est le treillis $L_k$ constitué de tous les éléments $x \in L$ tels que $\rho(x) \leq k$ auquel on a ajouté un élément maximum noté $\hatone_k$ de rang $k+1$. Il est facile de voir que $L_k$ forme également un treillis géométrique. Dans la suite, on note $\mu_k$ la fonction de Möbius de $L_k$.

\subsubsection{Description combinatoire des coefficients du polynôme caractéristique}
L'évaluation en $\x = 1$ du polynôme caractéristique donne
\[
\fcar_L(\x) \rest{\x = 1} = \sum_{x \in L} \mu(x) = \sum_{x \in [\hatz, \hatone]} \mu(\hatz, x)= 0,
\]
c'est-à-dire que $1$ est une racine de $\fcar_L$. Le~\emph{polynôme caractéristique réduit} de $L$, noté $\overline\fcar_L$, est donné par
\[
\overline\fcar_L(\x) = \frac{\fcar_L(\x)}{\x - 1}.
\]
C'est un polynôme de degré $r$, que l'on écrit sous la forme
\[
\overline\fcar_L(\x) = \sum_{k=0}^{r} (-1)^k b_k \x^{r - k}.
\]

\begin{thm}\label{thm:coefficients}
Pour tout $k\leq r$, soit $L_k$ la troncation au rang $k$ de~$L$ avec la fonction de Möbius $\mu_k$. Nous avons
\[
b_k = (-1)^{k+1} \mu_{k}(\hatone_k).
\]
\end{thm}

\begin{proof}
En utilisant l'annulation \hbox{$\sum_{x\in L}\mu(x)\!=\!0$}, nous écrivons
\begin{align*}
\fcar_L(\x) &= \sum_{x\in L} \mu(x) \x^{r+1-\rho(x)} = \sum_{x\in L} \mu(x) \x^{r+1-\rho(x)} - \sum_{x\in L} \mu(x)\\
&=\sum_{x\in L} \mu(x) \bigl(\x^{r+1-\rho(x)}-1 \bigr)\\
&= (\x-1)\sum_{x\in L} \mu(x) \bigl(1+\x+ \dots + \x^{r-\rho(x)} \bigr)\\
&=(\x-1)\sum_{k=0}^{r}\biggl(\sum_{\substack{x\in L\\ \rho(x)\leq k}}\mu(x)\biggr)\x^{r-k}.
\end{align*}
Il en résulte que
\[
b_k = (-1)^k \sum_{\substack{x\in L\\ \rho(x)\leq k}} \mu(x) =(-1)^k \sum_{\substack{x\in L_k\\ x\prec \hatone_k}} \mu_k(x) = (-1)^{k+1} \mu_k(\hatone_k).
\]
Dans la deuxième égalité, nous utilisons que $\mu$ et $\mu_k$ coïncident sur les éléments $x$ de rang inférieur ou égal à $k$, et la dernière égalité découle de la définition de $\mu_k(\hatone_k)$ dans $L_k$,
\[\mu_k(\hatone_k) = -\sum_{x\prec \hatone_k} \mu_k(x).\]
Le théorème s'ensuit.
\end{proof}

En combinant le théorème~\ref{thm:coefficients} et le théorème~\ref{thm:dmc}, nous obtenons le théorème suivant.

\begin{thm}[Huh--Katz~\cite{HK12}]
Le coefficient $b_k$ du polynôme caractéristique réduit est égal à $\dmc(L_k)$. C'est-à-dire que $b_k$ est le nombre de chaînes $\hatz \ssubface x_1 \ssubface x_2 \ssubface \dots \ssubface x_k$ dans $L$ qui sont descendantes au sens où
\[
\min(x_1) > \min(x_2) > \dots > \min(x_k) >1,
\]
et qui satisfont à $\rho(x_j)=j$ pour tout $j=1, \dots, k$.
\end{thm}

\begin{proof}
Le treillis $L_k$ a un rang $k+1$. D'après le théorème~\ref{thm:coefficients} et le théorème~\ref{thm:dmc}, nous avons
\[
b_k = (-1)^{k+1} \mu(\hatone_k) = (-1)^{2k+2} \dmc(L_k) = \dmc(L_k).
\]
La dernière affirmation découle de la définition de $\dmc(L_k)$.
\end{proof}

Il en résulte en particulier que tous les coefficients $b_k$ sont positifs.

\subsubsection{Log-concavité: première réduction}
En écrivant
\[
\fcar_L(\x) = \sum_{k=0}^{r+1} (-1)^{k} c_k \x^{r+1-k},
\]
nous obtenons à partir de la relation
\[
\fcar_L(\x) = (\x-1)\bar\fcar_L(\x),
\]
les équations
\[
c_k = b_k + b_{k-1} \qquad \forall k = 0, \dots, r+1,
\]
avec la convention que $b_{-1} = b_{r+1} = 0$.

\begin{prop}
Si la suite $(b_k)$ est log-concave, alors la suite $(c_k)$ l'est aussi.
\end{prop}

\begin{proof}
Nous devons montrer que
\[
(b_k + b_{k-1})^2 \geq (b_{k-1} + b_{k-2})(b_{k+1} + b_k), \qquad \textrm{pour tout } k = 0, \dots, r+1,
\]
avec la convention que $b_k = 0$ pour $k < 0$ ou $k > r$.

Ces inégalités découlent des inégalités $b_k^2 \geq b_{k-1}b_{k+1}$, $b_{k}^2 \geq b_{k+1}b_{k-1}$, et de l'inégalité $b_kb_{k-1} \geq b_{k+1}b_{k-2}$, qui est une conséquence des deux inégalités $b_{k}^2 \geq b_{k+1}b_{k-1}$ et $b_{k-1}^2 \geq b_{k}b_{k-2}$.
\end{proof}

\begin{remark}
Plus généralement, la~convolution de deux suites log-concaves de réels positifs reste une suite log-concave.
\end{remark}

\section{Matroïde et algèbre de Chow combinatoire}\label{sec:matroides}

La théorie des matroïdes a été introduite en 1935 par Hassler Whitney~\cite{Whitney-matroid}, dans le but d’abstraire la notion d’indépendance au-delà de l’algèbre linéaire. Son objectif était de formaliser les propriétés communes à diverses structures combinatoires, telles que les ensembles de vecteurs linéairement indépendants, les forêts dans les graphes, ou encore les systèmes de dépendance en géométrie projective. Sa principale source de motivation semble provenir d’une série d'articles qu’il a publiés au début de sa carrière à Princeton en théorie des graphes, dont~\cite{Whitney1} portant sur la reconnaissance de classes d’isomorphisme de graphes à partir des cycles formés par les arêtes, voir~\cite[Chap.\,1]{Whitney-collected-work}.

La théorie des matroïdes s’est considérablement développée depuis et a trouvé des applications diverses en optimisation combinatoire, en théorie des graphes, en géométrie algébrique et géométrie tropicale, en physique statistique et théorie des probabilités, et en théorie de l’information.

\subsection{Définition} De même qu’un espace topologique peut être décrit de plusieurs façons équivalentes — en spécifiant par exemple la collection des ouverts, des fermés, des voisinages, ou une base d’ouverts — un matroïde peut également être défini à l’aide de différentes familles de sous-ensembles, toutes équivalentes, qui traduisent de manière abstraite la notion d’indépendance. Chacune met en lumière un aspect particulier de la structure du matroïde et s’avère utile selon le contexte.

Un \emph{matroïde} est une structure combinatoire $\mat$ définie sur un ensemble ambiant $E$, fini, appelé le \emph{groundset} en anglais, qui peut être spécifiée de manière équivalente à partir de l’une des données suivantes:
\begin{itemize}
\item une collection $\bases$ de sous-ensembles de $E$, appelés \emph{bases} du matroïde ;
\item une collection $\ind$ de sous-ensembles de $E$, appelés \emph{indépendants} du matroïde ;
\item une collection $\flats$ de sous-ensembles de $E$, appelés \emph{fermés} du matroïde ;
\item une application $\rkm \colon 2^E \to \mathbb{Z}_{\geq 0}$, appelée \emph{fonction de rang} ;
\item une collection $\circuits$ de sous-ensembles de $E$, appelés \emph{circuits} du matroïde.
\end{itemize}

Dans chaque cas, la~collection est soumise à un système d’axiomes. Une fois l’une de ces données fixées, les autres peuvent être définies naturellement.

\Subsubsection{Axiomatique des bases}
\begin{itemize}
\item $\bases$ est non vide.
\item Pour toute paire d’éléments $B_1, B_2 \in \bases$, on a la \emph{propriété d’échange} suivante:
\[
\forall \,\, b_1 \in B_1 \smallsetminus B_2,\quad \exists \,\, b_2 \in B_2 \smallsetminus B_1 \qquad \text{tel que} \qquad B_1 - b_1 + b_2 \in \bases.
\]
\end{itemize}

\Subsubsection{Axiomatique des ensembles indépendants}

\begin{itemize}
\item $\ind$ est non vide.

\item $\ind$ est stable par inclusion: si $I \in \ind$ et $J \subset I$, alors $J \in \ind$.

\item Si $I_1, I_2 \in \ind$ avec $\card{I_1} < \card{I_2}$, alors il existe $a_2 \in I_2 \smallsetminus I_1$ tel que $I_1 + a_2 \in \ind$.
\end{itemize}

\Subsubsection{Axiomatique des fermés}

\begin{itemize}
\item On a $E \in \flats$.

\item Si $F_1, F_2 \in \flats$, alors $F_1 \cap F_2 \in \flats$.

\item Si $F \in \flats$ et $e \in E \setminus F$, il existe un unique $F' \in \flats$ tel que $F \ssubface F'$ et $e \in F'$.
\end{itemize}

Ici, $F\ssubface F'$ signifie que $F \subsetneq F'$ et il n'y a aucun $F'' \in \flats$ qui satisfait à $F\subsetneq F'' \subsetneq F$. En d'autres termes, $F'$ couvre $F$ dans l'ordre partiel défini par l'inclusion dans l'ensemble $\flats$.

\Subsubsection{Axiomatique de la fonction de rang}

La fonction $\rkm \colon 2^E \to \mathbb{Z}_{\geq 0}$ satisfait aux propriétés suivantes:
\begin{itemize}
\item Pour chaque $A \subseteq E$, on a $\rkm(A) \leq \card{A}$.
\item (Sous-modularité) Pour toute paire $A, B \subseteq E$, on a
\[
\rkm(A) + \rkm(B) \geq \rkm(A \cap B) + \rkm(A \cup B).
\]
\end{itemize}

\Subsubsection{Axiomatique des circuits}

\begin{itemize}
\item $\emptyset \not\in \circuits$.
\item Si $C_1, C_2 \in \circuits$, $C_1 \subseteq C_2$ implique que $C_1 = C_2$.
\item Si $C_1, C_2 \in \circuits$ et $C_1 \neq C_2$, pour $e \in C_1 \cap C_2$, il existe un $C_3 \in \circuits$ tel que $C_3 \subseteq (C_1 \cup C_2) - e$.
\end{itemize}

\Subsubsection{Équivalence des axiomatiques}
\begin{prop}
Tout élément de la liste ci-dessus détermine tous les autres.
\end{prop}

\begin{proof}
Si la collection $\ind$ est donnée, par exemple, alors
\begin{itemize}
\item $\bases$ est la collection des éléments maximaux de $\ind$ pour l'inclusion,
\item $\circuits$ est la collection des éléments minimaux, pour l'inclusion, de~$2^E \setminus \ind$,
\item la fonction rang $\rkm \colon 2^E \to \mathbb{Z}$ est définie par
\[
\rkm(A) =\max_{I \in \ind, \,\, I \subseteq A} \card{I}, \qquad \text{ et} \]
\item $\flats$ est la collection des sous-ensembles $F \subseteq E$ qui satisfont à
\[
\rkm(F + e) > \rkm(F) \quad \text{ pour tout } e \in E \setminus F.
\]
\end{itemize}
La démonstration pour les autres cas est similaire.
\end{proof}

En utilisant la propriété d'échange, il est facile de voir que les bases d’un matroïde $\mat$ ont toutes la même taille. On~appelle \emph{rang} de $\mat$ la taille commune des bases de $\mat$.
\subsection{Exemples de matroïdes}
\subsubsection{Matroïde vectoriel}
L'exemple élémentaire d'un matroïde est défini par une collection finie $E$ de vecteurs dans un espace vectoriel~$H$. La~collection $\ind$ est constituée des sous-ensembles de vecteurs dans~$E$ qui sont linéairement indépendants. La~collection $\bases$ contient tout ensemble maximal de vecteurs linéairement indépendants dans~$E$. La~fonction de rang $\rkm$ associe à chaque sous-ensemble $A\subseteq E$ la dimension de l'espace vectoriel engendré par les éléments de $A$. Et la collection $\flats$ est constitué des intersections de $E$ avec des sous-espaces vectoriels de $H$.

Par dualité, toute collection finie d'hyperplans dans un espace vectoriel définit un matroïde.
\subsubsection{Matroïde graphique}
Tout graphe fini $G = (V,E)$ donne naturellement un matroïde noté $\mat_G$ sur l'ensemble d'arêtes $E$. La~collection $\ind$ est constituée des sous-ensembles d'arêtes du graphe qui ne contiennent pas de cycle. La~collection $\bases$ consiste en tout ensemble d'arêtes acyclique maximal (dans le cas où $G$ est connexe, ce sont tout ensemble d'arêtes dans $G$ qui forme un arbre couvrant du graphe).

\subsubsection{Matroïde uniforme}
Le matroïde uniforme $\uni_{r,n}$ est le matroïde sur l'ensemble $E=[n]$ dont la collection $\bases$ est constituée de tous les sous-ensembles de taille $r$ de $E$.

\subsection{Treillis des fermés d'un matroïde}
On commence par la proposition suivante.
\begin{prop}
L'ensemble des fermés $\flats$ d'un matroïde, muni de l'ordre partiel $\subface$ donné par l'inclusion, est un treillis gradué.
\end{prop}

\begin{proof}
L'élément minimum est $\hatz = \emptyset$, et l'élément maximum est $\hatone = E$. L'infimum de deux fermés $F_1$ et $F_2$ est donné par leur intersection: $F_1 \wedge F_2 = F_1 \cap F_2$. Il en résulte que le supremum existe également, et est donnée par:
\[
F_1 \vee F_2 = \bigwedge_{F \succeq F_1, F_2} F,
\]
où l'on prend l'infimum de tous les fermés qui contiennent à la fois $F_1$ et $F_2$. La~graduation est fournie par la fonction rang du matroïde.
\end{proof}

\begin{example} Soit $G = K_3$, le~graphe complet à trois sommets et trois arêtes numérotées $1, 2,3$, donc $E=[3]$. Considérons le matroïde graphique $\mat=\mat_{K_3}$ sur $E$. Les ensembles suivants sont les fermés:
\[
\flats = \{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},E\}.
\]
Le treillis des fermés est donné ci-dessous, où les traits entre les fermés $x,y$ avec $x$ au-dessous de $y$, signifie que $y$ couvre $x$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1, every node/.style={circle, draw, fill=white}]
\node (0) at (0,0) {$\emptyset$};

\node (1) at (-2,1.5) {$1$};
\node (2) at (0,1.5) {$2$};
\node (3) at (2,1.5) {$3$};

\node (12) at (-1.5,3) {$1,2$};
\node (13) at (0,3) {$1,3$};
\node (23) at (1.5,3) {$2,3$};

\node (123) at (0,4.5) {$1,2,3$};

\draw (0) -- (1);
\draw (0) -- (2);
\draw (0) -- (3);
\draw (1) -- (12);
\draw (1) -- (13);
\draw (2) -- (12);
\draw (2) -- (23);
\draw (3) -- (13);
\draw (3) -- (23);
\draw (12) -- (123);
\draw (13) -- (123);
\draw (23) -- (123);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{example}

La proposition suivante établit une correspondance entre les matroïdes et les treillis géométriques de la section précédente. On~en déduit que la théorie des matroïdes est essentiellement décrites par celle des treillis géométriques.
\begin{prop} Le treillis des fermés $\flats$ d'un matroïde $\mat$ est un treillis géométrique.

De manière réciproque, soit $L$ un treillis géométrique avec la fonction de rang $\rho$. Soit $E$ l'ensemble des éléments de rang $1$ (les atomes) de $L$. Alors, la~collection $\flats$ constituée des ensembles $A_x \subseteq E$, $x \in L$, est un matroïde dont la fonction de rang satisfait à $\rkm(A_x) = \rho(x)$.
\end{prop}

\subsection{Polynôme caractéristique} Soit $\mat$ un matroïde de rang $r+1$ sur un ensemble ambiant $E=[m]$. On~définit le polynôme caractéristique de $\mat$ noté $\fcar_\mat(\x)$ comme le polynôme caractéristique du treillis des fermés de $\mat$. Le~polynôme caractéristique réduit $\bar \fcar_\mat(\x) = \fcar(\x)/(\x-1)$ s'écrit sous la forme
\[
\bar \fcar_{\mat}(\x) = \sum_{k=0}^r (-1)^k b_k \x^{r-k},
\]
et $b_k$ compte le nombre de chaînes
\[
\emptyset \neq F_1 \subsetneq F_2 \subsetneq \dots \subsetneq F_k \neq E
\]
de fermés de $\mat$ qui satisfont à
\begin{itemize}
\item $\rkm(F_j)=j$, pour tout $j\in[k]$, et
\item $\min(F_1)>\dots>\min(F_k)>1$,
\end{itemize}
avec $b_0=1$.

\subsection{Algèbre de Chow d'un matroïde}

Soit $\mat$ un matroïde de rang $r+1$ défini sur l'ensemble $E = [m]$. Soit $\flats$ le treillis des fermés de $\mat$. On~associe à $\mat$ une $\R$-algèbre graduée nommée l’\emph{algèbre de Chow} et notée $A^\bul(\mat)$, définie de la manière suivante.

Pour chaque fermé propre $F$, avec $F \neq \emptyset, E$, on associe une variable indéterminée $\x_F$. On~considère l’algèbre de polynômes
\[
\R[\x_F \st F \text{ fermé propre de $\mat$}].
\]
On pose alors
\[
A^\bul(\mat) = \rquot{\R[\x_F \st F \text{ fermé propre de $\mat$}]}{(I+J)}
\]
où
\begin{itemize}
\item $I$ est l'idéal engendré par tous les monômes de la forme $\x_{F_1}\x_{F_2}$ avec $F_1$ et $F_2$ incomparable, c'est-à-dire, $F_1 \not\subset F_2$ et $F_2 \not\subset F_1$.
\item $J$ est l'idéal engendré par les polynômes homogènes de degré un de la forme, pour toute paire $a, b \in E$,
\[
\sum_{F \ni a} \x_F - \sum_{F \ni b} \x_F
\]
où la première somme porte sur les fermés propres de $\mat$ qui contiennent $a$ et la seconde somme, de manière analogue, sur ceux qui contiennent $b$.
\end{itemize}
L’algèbre de Chow d'un matroïde est graduée, étant donné que les relations imposées sont toutes homogènes.
\begin{remark}[interprétation géométrique] \label{remark:int-geom}
Dans le cas où $\mat$ est donné par un arrangement d’hyperplans $H_1, \dots, H_m$ dans un espace vectoriel $H$ sur un corps $\kappa$, soit $\mathbb{P}(H)$ le projectivisé de $H$, dont les points correspondent aux droites vectorielles dans $H$. Chaque hyperplan $H_i$ définit un sous-espace projectif $\mathbb{P}(H_i) \subset \mathbb{P}(H)$.

Soit $U$ le complémentaire de l’union des $\mathbb{P}(H_i)$ dans $\mathbb{P}(H)$:
\[
U = \mathbb{P}(H) \setminus \bigcup_{i=1}^m \mathbb{P}(H_i).
\]

Il existe alors une compactification $X$ de $U$, projective et lisse, telle que l’anneau de Chow $A^\cbbullet(\mat)$ soit isomorphe à l’anneau de Chow de~$X$ pour l’équivalence rationnelle~\cite{CP95, FY}.

Dans le cas où le corps de base $\kappa$ est le corps des nombres complexes~$\mathbb{C}$, on dispose en outre d’un isomorphisme
\[
A^\cbbullet(\mat) \simeq H^\cbbullet(X, \mathbb{R}),
\]
qui identifie $A^k(\mat)$ au groupe de cohomologie singulière $H^{2k}(X, \mathbb{R})$ (les groupes de degré impair sont nuls).

En revanche, si le matroïde $\mat$ n’est pas réalisable (c’est-à-dire qu’il n’est pas associé à un arrangement d’hyperplans), il y a peu de chances que l’anneau $A^\cbbullet(\mat)$ provienne d’une variété algébrique. Nous mentionnons néanmoins que l'algèbre $A^\cbbullet(\mat)$ s'identifie à la cohomologie d'une variété projective et lisse, mais dans le monde \emph{tropical}.
\end{remark}

On fait une liste de propriétés importantes de $A^\cbbullet(\mat)$ qui peuvent être démontrées de manière élémentaire:

\begin{itemize}
\item $A^\cbbullet(\mat)$ est engendré, comme $\R$-espace vectoriel, par les monômes sans carré, c’est-à-dire par des produits de la forme $\x_{F_1}\dots \x_{F_k}$, où $F_1, \dots, F_k$ sont des fermés propres de $\mat$. Si deux éléments $F_i$ et $F_j$ dans la liste ne sont pas comparables, alors le produit est nul à cause des relations imposées par l'idéal $I$. On~en déduit que $A^\cbbullet(\mat)$ est engendré par des monômes $\x_{F_1} \dots \x_{F_k}$ tels que, quitte à réordonner les facteurs, on ait
\[
F_1 \subseteq F_2 \subseteq \dots \subseteq F_k.
\]

\item En utilisant les relations imposées par les idéaux $J$ et $I$, et en procédant par récurrence sur l’ordre lexicographique des monômes, on peut montrer que $A^\cbbullet(\mat)$ est engendré par les monômes sans carré $\x_{F_1} \dots \x_{F_k}$, c'est-à-dire satisfaisant à
\[
\emptyset \neq F_1 \subsetneq F_2 \subsetneq \dots \subsetneq F_k \neq E,
\]
formant donc une chaîne dans le treillis $\flats$. Comme il n’existe pas de chaîne strictement croissante de longueur $r+1$ dans l’ensemble des fermés propres (puisque le rang de $\mat$ est $r+1$), on en déduit que $A^k =0$ pour tout $k\geq r+1$, et donc
\[
A^\cbbullet(\mat) = A^0 \oplus A^1 \oplus \dots \oplus A^r.
\]

\item En utilisant les relations imposées par $J$, on peut démontrer que toute chaîne maximale
\[
\emptyset \neq F_1 \subsetneq F_2 \subsetneq \dots \subsetneq F_r \neq E
\]
de longueur $r$ donne lieu au même élément $\x_{F_1} \dots \x_{F_r}$ dans $A^r$. Combiné au point précédent, on en déduit que $A^r$ est de dimension $1$, et~on a l'égalité canonique
\[
A^r = \R \cdot \x_{F_1} \dots \x_{F_r}.
\]
Celle-ci fournit une identification canonique
\[
\deg \colon A^r \to \R, \qquad \lambda \, \x_{F_1} \dots \x_{F_r} \mto \lambda, \qquad \text{pour tout } \lambda \in \R.
\]
\item Les seules relations entre les monômes de degré $1$ sont celles imposées par l'idéal $J$. Un calcul élémentaire donne
\[
\dim_\R A^1 = \abs{\flats_{\geq 2}},
\]
où $\flats_{\geq 2}$ désigne le sous-ensemble de $\flats$ formé des fermés de rang au moins $2$.
\end{itemize}

Notons que l'application $\deg$ est l'analogue de l'application \emph{volume} en théorie des polytopes.

\subsection{Propriétés kählériennes de l'algèbre de Chow} Même si $A^\bul(\mat)$ n'est pas nécessairement associée à un objet géométrique issu du monde classique, voir la remarque~\ref{remark:int-geom}, elle se comporte de manière remarquable comme l'algèbre de cohomologie d'une variété complexe projective et lisse. Les trois propriétés géométriques suivantes sont établies dans~\cite{AHK18}.

Considérons la forme bilinéaire
\[
A^k \times A^{r-k} \longrightarrow A^r \xrightarrow{\deg} \R, \qquad (a, b) \mto \deg(ab).
\]

(Dualité de Poincaré) \emph{La forme bilinéaire ci-dessus est non-dégénérée. Elle induit un isomorphisme de $\R$-espace vectoriel entre $A^k$ et l'espace vectoriel dual ${A^{r-k}}^\dual$ des formes linéaires sur $A^k$}.

Soit $\comp{\mathscr{K}}_{\mat} \subset A^1$ le sous-ensemble de $A^1$ constitué des éléments de la forme
\[
\sum_{F \text{ fermé propre de $\mat$} } h(F) \x_F
\]
pour une fonction $h$ définie sur l'ensemble $2^E$ de tous les sous-ensembles de $E$, à valeurs dans $\R$, qui satisfait à la condition de sous-modularité
\[
h(F_1)+ h(F_2) \geq h(F_1\vee F_2) + h(F_1 \wedge F_2)
\]
pour toute paire $\{F_1,F_2\}$ de sous-ensembles de $E$. On observe rapidement que $\comp{\mathscr{K}}_{\mat}$ est fermé par addition et multiplication par un réel positif, \ie pour $h_1,h_2\in \comp{\mathscr{K}}_{\mat}$ et $\lambda_1, \lambda_2 \in \R_{\geq 0}$, on a $\lambda_1h_1+\lambda_2h_2 \in \comp{\mathscr{K}}_{\mat}$. C’est donc un cône convexe dans l’espace vectoriel réel $A^1$. On~note $\mathscr{K}_{\mat}$ son intérieur, c’est-à-dire l’ensemble des points qui admettent un voisinage inclus dans $\comp{\mathscr{K}}_{\mat}$; c’est un cône convexe ouvert et non vide, on l'appelle le \emph{cône ample} de $\mat$.

(Lefschetz difficile) \emph{Pour tout $\ell \in \mathscr{K}_{\mat}$, et pour tout $k\leq r/2$, la~multiplication par $\ell^{r-2k}$ induit un isomorphisme}
\[
\,\ell^{r-2k} \cdot -\, \colon A^k \xlongrightarrow{\simeq} A^{r-k}, \qquad a\mto \ell^{r-2k}a.
\]
Soit $\ell$ un élément du cône ample $\mathscr{K}_{\mat}$. Pour tout $k\leq r/2$, soit $P^k \subseteq\nobreak A^k$ le noyau de l'application $A^k \to A^{r-k+1}$ donnée par multiplication par $\ell^{r-2k+1}$, \ie
\[
P^k = \bigl\{a \in A^k \st \ell^{r-2k+1}a=0\bigr\}.
\]
En général, $P^k$ dépend du choix de $\ell$.

(Hodge--Riemann) \emph{La forme bilinéaire $P^k \times P^k \to \R$ définie par
\[
(a,b) \mto (-1)^k\deg(ab\ell^{r-2k}) \qquad \forall\, a,b\in P^k,
\]
est définie positive.
}

Nous esquisserons une démonstration de ces propriétés dans la section~\ref{sec:tropical}, en donnant une généralisation polyédrale du contexte, permettant de procéder par récurrence.
\subsection{Interprétation algébrique des coefficients du polynôme caractéristique}
Soit $E=[m]$ l'ensemble ambiant du matroïde $\mat$. Pour $i,j \in [m]$, les relations données par l'idéal $J$ impliquent l'égalité suivante dans $A^1$:
\[
\sum_{\substack{F\text{ fermé propre} \\ F\ni i}} \x_F = \sum_{\substack{F\text{ fermé propre} \\ F\ni j}} \x_F.
\]
En soustrayant la somme des $\x_F$ sur tous les fermés propres, on~obtient également\vspace*{-3pt}
\[
\sum_{\substack{F\text{ fermé propre} \\ F\not\ni i}} \x_F = \sum_{\substack{F\text{ fermé propre} \\ F\not\ni j}} \x_F.
\]
Cela permet de définir deux éléments distingués $\alpha$ et $\beta$ dans $A^1$, donnés par\vspace*{-3pt}
\[
\alpha = \sum_{\substack{F\text{ fermé propre} \\ F\ni i}} \x_F \qquad \text{et} \qquad \beta = \sum_{\substack{F\text{ fermé propre} \\ F\not\ni i}} \x_F.
\]
Il est facile de vérifier que $\alpha$ et $\beta$ appartiennent tous les deux au cône $\comp{\mathscr{K}}_{\mat}$.
On rappelle que\vspace*{-3pt}
\[
\bar\fcar_\mat(\x) = \sum_{k=0}^r (-1)^k b_k \x^{r-k}.
\]
Pour chaque $k\leq r$, soit $L_k$ la troncation au rang $k$ du treillis $\flats$ des fermés de $\mat$. Par le théorème~\ref{thm:dmc}, nous avons $b_k =\dmc(L_k)$.
\begin{prop} Nous avons $b_k = \dmc(L_k) =\deg(\alpha^{r-k}\beta^k)$.
\end{prop}

\begin{proof} On prouve par récurrence sur $k$ (le cas $k=1$ étant la définition de $\beta$) que\vspace*{-3pt}
\[
\beta^k =\sum_{\emptyset\neq F_1\subsetneq F_2 \subsetneq \dots \subsetneq F_k \neq E}\x_{F_1}\dots \x_{F_k}.
\]
Ensuite, on montre que pour toute chaîne $\emptyset\!\neq\! F_1\!\subsetneq\! F_2 \!\subsetneq\! \dots \!\subsetneq\! F_k \!\neq\! E$ dans $E$,\vspace*{-3pt}
\[
\alpha^{r-k}\x_{F_1}\dots \x_{F_k} =\begin{cases}\x_{F_1}\dots \x_{F_k}\x_{F_{k+1}}\dots \x_{F_{r}} & \text{si }\rkm(F_j)=j\\[-3pt] &\text{pour tout } j\in [k],\\
0 & \text{sinon},
\end{cases}
\]
où dans le premier cas, $F_1\subsetneq F_2\subsetneq \dots \subsetneq F_{k} \subsetneq F_{k+1}\subsetneq \dots \subsetneq F_r \neq E$ est une chaîne maximale qui contient $F_1,\dots, F_k$.
On en déduit que\vspace*{-3pt}
\begin{align*}
\deg(\alpha^{r-k}\beta^k) &=\sum_{\emptyset\neq F_1\subsetneq F_2 \subsetneq \dots \subsetneq F_k \neq E}\deg(\alpha^{r-k}\x_{F_1}\dots \x_{F_k})\\
&= \sum_{\substack{\emptyset\neq F_1\subsetneq F_2 \subsetneq \dots \subsetneq F_k \neq E\\\rkm(F_j)=j \text{ pour tout $j\in[k]$}}}1 =\dmc(L_k).\qedhere
\end{align*}
\end{proof}

\subsection{Preuve de la log-concavité des coefficients}
On démontre d'abord l'inégalité
\[
b_r b_{r-2} \leq b_{r-1}^2.
\]
Considérons la forme bilinéaire
\[
\Phi \colon A^1 \times A^1 \to \R, \qquad \Phi(a,b) = \deg(ab\, \beta^{r-2}).
\]
Comme $\beta \in \comp{\mathscr{K}}_{\mat}$, on peut trouver une suite $\ell_\epsilon \in \mathscr{K}_{\mat}$, pour $\epsilon > 0$ dans un petit intervalle autour de $0$, telle que $\beta = \lim_{\epsilon \to 0} \ell_\epsilon$.

Par Hodge--Riemann, la~forme bilinéaire
\[
\Phi_\epsilon \colon A^1 \times A^1 \to \R, \qquad \Phi_\epsilon(a,b) = \deg(ab\, \ell_\epsilon^{r-2})
\]
est définie négative sur
\[
P_\epsilon^1 = \ker\Bigl(\ell_\epsilon^{r-1} \cdot - \colon A^1 \to A^r\Bigr)
\]
et positive sur la droite $\R\ell_\epsilon \subseteq A^1$. Par la propriété de Lefschetz difficile, $P_\epsilon^1$ est de codimension $1$ dans $A^1$. On~en déduit que la signature de $\Phi_\epsilon$ est $(1, \dim_\R A^1 - 1)$.

La restriction de $\Phi_\epsilon$ à l'espace vectoriel engendré par $\alpha$ et $\beta$ a donc au plus une valeur propre positive. Comme $\Phi = \lim_{\epsilon \to 0} \Phi_\epsilon$, cette propriété reste valable pour $\Phi$. Comme $\Phi(\alpha, \alpha) \geq 0$, on conclut que le déterminant de la matrice
\[\arraycolsep4pt
\begin{pmatrix}
\Phi(\alpha, \alpha) & \Phi(\alpha, \beta) \\
\Phi(\beta, \alpha) & \Phi(\beta, \beta)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b_{r-2} & b_{r-1} \\
b_{r-1} & b_r
\end{pmatrix}
\]
est négatif ou nul. Ce qui donne l'inégalité de log-concavité recherchée.

Pour démontrer l'inégalité $b_k b_{k-2} \leq b_{k-1}^2$ pour les valeurs de $k < r$, on se ramène d'abord au matroïde $\mat_k$ dont le treillis des fermés est la troncation $L_k$ de $\flats$, et on applique l'argument donné ci-dessus en utilisant les éléments $\alpha$ et $\beta$ de l'algèbre de Chow $A^\cbbullet(\mat_k)$.

\section{Géométrie tropicale et propriétés kählériennes} \label{sec:tropical}

\subsection{Éventails} Soit $N \simeq \R^m$ un espace vectoriel réel, et soit $M = \Hom(N, \R)$ l'espace vectoriel dual. On~note $\langle \cdot\,, \cdot\rangle$ l'appariement entre~$M$ et $N$.

Étant donné un élément non nul $y \in M$, l'hyperplan définit par $y$ est l'ensemble des points $x\in N$ tel que $\langle y,x\rangle =0$. Un demi-espace dans $N$ est un sous-ensemble de la forme
\[
\left\{x\in N \st \langle y, x\rangle \geq 0\right\}
\]
pour un certain élément non nul $y \in M$.

Un \emph{cône polyédral} $\sigma$ dans $N$ est par définition une intersection finie de demi-espaces. Le~cône $\sigma$ est dit fortement convexe s'il ne contient aucune droite. Le~sous-espace vectoriel engendré par $\sigma$ dans $N$ est noté $N_\sigma$. La~dimension de $\sigma$ est celle de l'espace vectoriel $N_\sigma$, elle est notée $\dim(\sigma)$.

Une \emph{face} d’un cône $\sigma$ est l’intersection de $\sigma$ avec un hyperplan $H$ tel que $\sigma$ soit entièrement contenue dans l’un des deux demi-espaces fermés définis par $H$. Une face de dimension $1$ de $\sigma$ est appelée un \emph{rayon} de $\sigma$. On~dit que $\sigma$ est \emph{simplicial} si le nombre de rayons de $\sigma$ est égal à sa dimension.

\begin{defi}[éventail]
Un \emph{éventail} $\Sigma$ dans $N$ est une collection finie non vide de cônes polyédraux fortement convexes qui vérifie les deux propriétés suivantes:

\begin{itemize}

\item[-] Pour tout cône $\sigma \in \Sigma$, toute face $\tau$ de $\sigma$ appartient aussi à $\Sigma$.

\item[-] Pour deux cônes $\sigma$ et $\eta$ de $\Sigma$, l’intersection $\sigma \cap \eta$ est une face commune de $\sigma$ et $\eta$.

\end{itemize}
Un éventail $\Sigma$ est dit simplicial si tout cône $\sigma\in \Sigma$ est simplicial.
\end{defi}

On remarque en particulier que $\Sigma$ contient toujours le cône \hbox{$\conezero \coloneqq \{0\}$}.

Un éventail $\Sigma$ est un ensemble partiellement ordonné par l'inclusion. On~utilise la notation $\tau \preceq \sigma$ pour signifier que $\tau$ est une face de $\sigma$. De plus, on écrit $\tau \ssubface \sigma$ lorsque $\tau$ est couvert par $\sigma$. Muni de la fonction rang donnée par la dimension, $\Sigma$ est un poset gradué.

L'ensemble des cônes de dimension $k$ de $\Sigma$ est noté $\Sigma_k$, et les éléments de $\Sigma_1$ sont appelés des \emph{rayons}. Tout cône $\sigma$ de dimension~$k$ dans $\Sigma$ est déterminé par son ensemble de rayons appartenant à $\Sigma_1$. Le~\emph{support} de $\Sigma$, noté $\supp \Sigma$, est l'union des cônes de $\Sigma$; c'est un sous-ensemble fermé de $N$. Une \emph{facette} de $\Sigma$ est un cône maximal pour l'inclusion. On~dit que $\Sigma$ est \emph{de dimension pure $d$} si toutes ses facettes ont la même dimension $d$. Un éventail $\Sigma$ dans $N$ est dit \emph{complet} si le support de $\Sigma$ est égal à~$N$.

Dans la suite, tous les éventails considérés sont simpliciaux.

\begin{example}[éventail normal d'un polytope]
Soit $P$ un polytope dans~$M$ (c’est-à-dire que $P$ est l’enveloppe convexe d’un nombre fini de points de $M$). On~suppose que $\dim(P)=\dim(M)$. On~associe à~$P$ un éventail complet dans $N$, noté $\Sigma_P$ et appelé \emph{l’éventail normal de~$P$}, défini de la manière suivante. Soit $F$ une face de $P$, c’est-à-dire que $F$ est l’intersection de $P$ avec un hyperplan affine $H$ tel que $P$ est contenu dans l’un des demi-espaces fermés définis par $H$. Soit $\sigma_F \subseteq N$ l’ensemble de tous les points $x \in N$ qui, vus comme des formes linéaires sur $M$, prennent leur valeur maximum sur $P$ en tout point de la face $F$. Alors, $\Sigma_P$ est la collection des cônes $\sigma_F$, lorsque~$F$ parcourt l’ensemble des faces de $P$.

Notons que $\Sigma_P$ est simplicial si et seulement si $P$ est \emph{simple}, c’est-à-dire que chaque sommet de $P$ est contenu dans $\dim(M)$ faces de dimension $\dim(M)-1$ dans $P$.
\end{example}

\begin{example}[éventail de Bergman associé à un treillis géométrique] Soit $L$ un treillis géométrique de rang $r+1$ dont l'ensemble des atomes est $E = [m]$. On~note $\mathbf{1}_E$ le vecteur de $\R^E$ dont toutes les coordonnées sont égales à~1. On~considère l’espace quotient $N = \R^E / \R \mathbf{1}_E$, et l’on note $M$ son dual.

Pour tout sous-ensemble $F \subseteq E$, on note $\mathbf{1}_F$ le vecteur dans $N$ dont les coordonnées correspondant aux éléments de $F$ sont égales à~1, et les autres à~0. En particulier, $\one_E=0$.

On associe à $L$ l’éventail $\Sigma_L$ dans $N$, défini comme suit. À chaque chaîne strictement croissante $F_1 \subsetneq \dots \subsetneq F_k$ de fermés propres de~$L$, on associe un cône $\sigma$ défini comme l’enveloppe convexe des demi-droites $\R_{\geq 0} \mathbf{1}_{F_1}, \dots, \R_{\geq 0} \mathbf{1}_{F_k}$. L’éventail $\Sigma_L$ est la collection de tous ces cônes. C’est un éventail simplicial de dimension pure $r$ dans $N$.
\end{example}

\subsection{Éventails munis et leurs algèbres de Chow}
Un \emph{éventail muni} $\Sigma$ est un éventail simplicial dont chaque rayon $\varrho$ est muni d'un vecteur générateur noté $\e_\varrho$, tel que $\varrho = \R_{\geq 0}\e_\varrho$.

À chaque éventail muni $\Sigma$ dans $N$ on associe une algèbre graduée $A^\cbbullet(\Sigma)$ définie de la manière suivante.

À chaque rayon $\varrho$ de $\Sigma$, on associe une variable $\x_\varrho$. On~considère l'algèbre de polynômes
\[
\R[\x_\varrho \st \varrho \in \Sigma_1].
\]
L’algèbre de Chow $A^\bul(\Sigma)$ de $\Sigma$ est, par définition, l’algèbre quotient
\[
A^\bul(\Sigma) = \rquot{\R[\x_\varrho \st {\varrho \in \Sigma_1}]}{I + J},
\]
où
\begin{itemize}
\item $I$ est l’idéal de $\R[\x_\varrho \st \varrho \in \Sigma_1]$ engendré par les produits $\x_{\varrho_1}\cdots\x_{\varrho_k}$, pour $k \in \N$, tels que les rayons $\varrho_1, \dots, \varrho_k$ ne forment pas un cône dans $\Sigma$.
\item $J$ est l’idéal de $\R[\x_\varrho \st \varrho \in \Sigma_1]$ engendré par les éléments de la forme
\[
\sum_{\varrho \in \Sigma_1} m(\e_\varrho)\x_\rho,\quad \text{pour $m \in M$.}
\]
\end{itemize}
La définition de $A^\cbbullet(\Sigma)$ dépend du choix des vecteurs générateurs associés aux rayons, mais deux choix différents donnent des algèbres canoniquement isomorphes.

L’idéal $I + J$ étant homogène, l’algèbre de Chow hérite d’une structure de $\R$-algèbre graduée, c’est-à-dire qu’on peut écrire:
\[
A^\bul(\Sigma) = \bigoplus_{k \geq 0} A^k(\Sigma)
\]
où $A^k(\Sigma)$ est engendré, en tant que $\R$-module, par les monômes homogènes de degré $k$.

Pour chaque rayon $\varrho$ de $\Sigma$, on note $x_\varrho$ l’image de $\x_\varrho$ dans $A^1(\Sigma)$. Plus généralement, pour tout cône $\sigma$ de $\Sigma$ dont les rayons sont $\varrho_1, \dots, \varrho_{\dim(\sigma)}$, on note $x_\sigma$ le produit $x_{\varrho_1}\cdots x_{\varrho_{\dim(\sigma)}}$.

Pour chaque paire de cônes $\tau, \sigma \in \Sigma$ tels que $\tau \ssubface \sigma$, les cônes étant simpliciaux, $\sigma$ possède exactement un rayon supplémentaire par rapport à $\tau$. Notant $\rho$ ce rayon, on pose $\e_{\sigma/\tau} \coloneqq \e_\rho$.

La structure additive de l'algèbre de Chow d'un éventail muni est décrite par le théorème suivant.
\begin{thm}\label{thm:localizaion} Pour tout entier positif $k$, l'application $\R$-linéaire
\[
\bigoplus_{\sigma \in \Sigma_k} \R \x_\sigma \longrightarrow A^k(\Sigma), \quad \x_\sigma \mto x_\sigma
\]
est surjective. Son noyau est le sous-espace vectoriel de $\bigoplus_{\sigma \in \Sigma_k} \R \x_\sigma$ engendré par les éléments de la forme
\[
\sum_{\substack{\sigma \ssupface \tau}} m(\e_{\sigma/\tau})\,\x_\sigma,
\]
où $\tau$ est un cône de dimension $k-1$ dans $\Sigma$ et $m \in M$ est une forme linéaire sur $N$ qui s'annule sur $\tau$.
\end{thm}

\begin{proof} Pour les éventails rationnels (\ie qui peuvent~être munis d’un choix de vecteurs $\e_\varrho$ à coordonnées rationnelles), cela découle de~\cite[Th.\,1.1]{FMSS95}. La~preuve combinatoire donnée dans \cite[\S\,3.8]{AP25}, basée sur une récurrence lexicographique astucieuse, établit le résultat dans ce niveau de généralité.
\end{proof}

Il résulte de ce théorème que pour tout $k\geq \dim(\Sigma)+1$, on a $A^k(\Sigma) =0$. On~peut donc écrire
\[
A^\cbbullet(\Sigma) = A^0(\Sigma)\oplus \dots \oplus A^{d}(\Sigma), \quad \text{où $d=\dim(\Sigma)$.}
\]

\begin{example} Soit $L$ un treillis géométrique de rang $r+1$ avec l'ensemble d'atomes $E = [m]$, et $\mat$ le matroïde associé. Soit $\Sigma_L$ l’éventail de Bergman associé dans $N = \R^E / \R \one_E$. Le~dual $M$ de $N$ peut être identifié avec le sous-ensemble $M \subset \R^E$ constitué des vecteurs $(b_i)_{i \in [m]}$ tels que $\sum_i b_i = 0$.

On munit chaque rayon $\R \one_F$ de $\Sigma_L$ du vecteur générateur $\one_F$.
Une base de $M$ est constituée des vecteurs de la forme $e_i^* - e_j^*$, où $e_i$ est une base de $\R^E$ dans la définition de $N$ et $e_i^*$ est la base duale dans~$\R^E$, dans la définition de $M$. L’idéal $J$ dans la définition de $A^\cbbullet(\Sigma)$ s’identifie alors avec l’idéal $J$ dans la définition de $A^\cbbullet(\mat)$. Il est facile de voir que l’idéal $I$ dans les deux définitions s’identifie également. On~obtient alors un isomorphisme entre $A^\cbbullet(\Sigma_L)$ et $A^\cbbullet(\mat)$.
\end{example}

\begin{example} Soit $P$ un polytope simple de dimension $d$ dans $\R^d$, et~$\Sigma_P$ l’éventail complet qui lui est associé. Les rayons de $\Sigma_P$ sont en bijection avec les faces de codimension $1$ de $P$. On~fixe un \hbox{produit} scalaire sur $\R^d$, et l’on munit chaque rayon de $\Sigma_P$ du vecteur générateur unitaire. L’algèbre $A^\cbbullet(\Sigma_P)$ s’identifie alors avec une sous-algèbre de l’algèbre des polytopes dans $\R^d$, engendrée par $P$ et ses composantes additives, pour la somme de Minkowski entre polytopes, définie dans~\cite{McMullen89, McMullen93}.
\end{example}
\subsection{Poids de Minkowski} Le théorème~\ref{thm:localizaion} permet de donner une description géométrique de l'espace dual à chaque morceau $A^k(\Sigma)$ de l'algèbre de Chow.

Soit $\Sigma$ un éventail muni dans $N$. Un \emph{poids de Minkowski de dimension $k$} sur $\Sigma$ est la donnée d'une application
\[
w \colon \Sigma_k \to \R, \qquad \sigma \mto w(\sigma),
\]
qui satisfait à la \emph{condition d'équilibre} formulée de la manière suivante: Pour tout $\tau\in \Sigma_{k-1}$, on a
\[
\sum_{\sigma \ssupface \tau} w(\sigma) \e_{\sigma/\tau} \in N_\tau,
\]
où, on le rappelle, $N_\tau$ est l'espace vectoriel engendré par $\tau$. On~note $MW_k(\Sigma)$ l'ensemble des poids de Minkowski de dimension $k$, c'est clairement un espace vectoriel réel de dimension finie.

\begin{thm}
On a la dualité entre $A^k(\Sigma)$ et $MW_k(\Sigma)$, donnée explicitement par
\[
A^k(\Sigma)\times MW_k(\Sigma) \to \R, \qquad (x_\sigma, w) \mto w(\sigma).
\]
\end{thm}

\begin{proof} Il s'agit d'une application plus ou moins formelle du théorème~\ref{thm:localizaion}.
\end{proof}

\subsection{Éventail tropical et application degré} Soit $d$ un entier naturel. Un \emph{éventail tropical} de dimension $d$ est un couple $(\Sigma, \omega)$ constitué
\begin{itemize}
\item d'un éventail muni $\Sigma$ de dimension pure $d$, et
\item d'un poids de Minkowski strictement positif $\omega\in MW_d(\Sigma)$, \ie tel que $\omega(\sigma)>0$ pour tout $\sigma \in \Sigma_d$.
\end{itemize}

\pagebreak[2]
\skpt
\begin{example}
\begin{itemize}
\item Tout éventail muni complet de dimension $d$ admet un poids de Minkowski qui lui donne la structure d’un éventail tropical. Pour cela, on associe à chaque cône $\sigma$ de dimension $d$ le poids
\[
\omega(\sigma) = \abs{\det(\e_{\rho_1}, \dots, \e_{\rho_d})}^{-1},
\]
où les $\rho_i$ désignent les rayons de $\sigma$, et $(\e_{\rho_1}, \dots, \e_{\rho_d})$ est la matrice $d \times d$ formée des vecteurs générateurs de ces rayons.
\item Soit $L$ un treillis géométrique de rang $r+1$, et $\Sigma_L$ l’éventail de Bergman associé, dont les rayons sont munis des vecteurs primitifs $\one_F$ pour $F \in \flats$ un fermé propre. Alors, la~fonction qui à chaque cône de dimension $r$ de $\Sigma_L$ associe la valeur $1$ définit un poids de Minkowski, et donne à $\Sigma_L$ la structure d’un éventail tropical.\qedhere
\end{itemize}
\end{example}

Soit $(\Sigma, \omega)$ un éventail tropical de dimension $d$. En utilisant la dualité entre $A^d(\Sigma)$ et $MW_d(\Sigma)$, on définit l'application
\[
\deg \colon A^d(\Sigma) \to \R, \qquad x_\sigma \mto \omega(\sigma) \quad \text{pour tout $\sigma$ de dimension $d$.}
\]
\subsection{Formulation des propriétés kählériennes} Avec l'application $\deg$, on peut formuler les propriétés kählériennes pour les éventails tropicaux. Plus précisément, pour un éventail tropical $(\Sigma, \omega)$ de dimension $d$, ces propriétés concernent la structure graduée de $A^\cbbullet(\Sigma)$ et le comportement de l'opérateur de multiplication par un élément ample $\ell$ de $A^1(\Sigma)$, relativement à la forme bilinéaire définie par $\deg$. On~a donc besoin de définir le cône ample $\mathscr K_\Sigma \subset A^1(\Sigma)$.

Un élément $\ell \in A^1(\Sigma)$ s’écrit sous la forme
\begin{equation}\label{eq:elementA1}
\sum_{\varrho \in \Sigma_1} a_\varrho x_\varrho, \qquad \text{ pour les nombres réels } a_\varrho.
\end{equation}
Cette écriture est bien définie modulo l’addition par un élément de l’idéal $J$, c’est-à-dire d’un élément de la forme
\[
\sum_{\varrho \in \Sigma_1} m(\e_\varrho) x_\varrho, \qquad m \in M.
\]
À l’élément $\sum_{\varrho \in \Sigma_1} a_\varrho x_\varrho$, on associe une fonction
\[
f \colon \supp{\Sigma} \to \R,
\]
définie par $f(\e_\varrho) = a_\varrho$ sur les vecteurs générateurs des rayons, et étendue par interpolation linéaire sur chaque cône de $\Sigma$. Comme les cônes sont simpliciaux, il n'y a pas d'ambiguïté. La~fonction $f$ est linéaire par cône et bien définie modulo l'addition par un élément de~$M$, restreint à $\supp{\Sigma}$.

On appelle $\ell$ \emph{ample} si, pour tout cône $\tau \in \Sigma$, il existe une représentation de $\ell$ sous la forme~\eqref{eq:elementA1} telle que la fonction associée
\[
f \colon \supp{\Sigma} \to \R
\]
s’annule sur $\tau$ et est strictement positive sur $\sigma \setminus \tau$ pour tout cône $\sigma \supface \tau$ de $\Sigma$. On~vient de définir une notion de \emph{convexité stricte} pour les fonctions linéaires par cône définies sur le support $\supp{\Sigma}$: la condition d'annulation sur les cônes $\tau$ de $\Sigma$ et de strictes positivité autour étant l'analogue de l'existence des hyperplans de support pour le graphe de~$f$.

On note $\mathscr K_\Sigma$ le sous-ensemble des éléments amples de $A^1(\Sigma)$. On~dit qu'un éventail $\Sigma$ est \emph{quasi-projectif} si son cône ample $\mathscr K_\Sigma$ est non vide.

La propriété d'amplitude étant clairement une condition ouverte, si $\mathscr K_\Sigma$ n'est pas vide, il s'agit d'un sous-ensemble ouvert de $A^1(\Sigma)$. De~plus, $\mathscr K_\Sigma$ est invariant par addition et multiplication par des nombres strictement positifs. Son adhérence $\overline{\mathscr K}_\Sigma$ est donc un cône convexe de $A^1(\Sigma)$ pour tout $\Sigma$ quasi-projectif.

Avec l'application $\deg$ et la définition du cône ample, on peut maintenant formuler les propriétés kählériennes.

On dit que l'algèbre de Chow d'un éventail tropical $(\Sigma, \omega)$ de dimension $d$ satisfait aux propriétés kählériennes si on a les propriétés suivantes. Considérons la forme bilinéaire
\[
A^k(\Sigma) \times A^{d-k}(\Sigma) \longrightarrow A^d(\Sigma) \xrightarrow{\deg} \R, \qquad (a, b) \mto \deg(ab).
\]

(Dualité de Poincaré) \emph{La forme bilinéaire ci-dessus est non-dégénérée.}

(Lefschetz difficile) \emph{ Pour tout $\ell \in \mathscr{K}_{\Sigma}$, et pour tout $k\leq d/2$, la~multiplication par $\ell^{d-2k}$ induit un isomorphisme
\[
\,\ell^{d-2k} \cdot -\, \colon A^k(\Sigma) \xlongrightarrow{\simeq} A^{d-k}(\Sigma), \qquad a\mto \ell^{d-2k}a.
\]}

Pour $\ell \in \mathscr{K}_{\Sigma}$ et $k\leq d/2$, soit $P^k \subseteq A^k(\Sigma)$ le noyau de l'application $A^k(\Sigma) \to A^{d-k+1}(\Sigma)$ donnée par multiplication par $\ell^{d-2k+1}$, \ie
\[
P^k = \bigl\{a \in A^k(\Sigma) \st \ell^{d-2k+1}a=0\bigr\}.
\]

(Hodge--Riemann) \emph{La forme bilinéaire $P^k \times P^k \to \R$ définie par
\[
(a,b) \mto (-1)^k\deg(ab\ell^{d-2k}) \qquad \forall\, a,b\in P^k,
\]
est définie positive.
}

Notre objectif est désormais de construire une large classe d'éventails tropicaux quasi-projectifs dont l'algèbre de Chow jouit des propriétés kählériennes.

\subsection{Un peu d'analyse complexe tropicale} Soit $(\Sigma, \omega)$ un éventail tropical de dimension $d$ dans un espace vectoriel $N$. On~voit les fonctions linéaires par cône sur $\Sigma$ comme des \emph{fonctions méromorphes tropicales} sur $\Sigma$. Il s'agit ici d'un abus de langage, puisque nous n'imposons pas de condition d'intégralité sur ces fonctions, contrairement à l'usage courant en géométrie tropicale~\cite{Itenberg}.

À chaque fonction $f \colon \supp{\Sigma} \to \R$ linéaire par cône de $\Sigma$, on associe la fonction \emph{ordre d'annulation} le long des faces de codimension $1$ de $\Sigma$,
\[
\mathrm{ord}(f) \colon \Sigma_{d-1} \to \R, \qquad \tau \mto \mathrm{ord}_\tau(f),
\]
de la manière suivante.

Soit $\tau \in \Sigma_{d-1}$, et notons $f_\tau$ la fonction linéaire sur $N_\tau$ dont la restriction à $\tau$ coïncide avec celle de $f$. Cette fonction est bien définie et unique. L'\emph{ordre d'annulation de $f$ le long de $\tau$}, noté $\mathrm{ord}_\tau(f)$, est alors donné par la formule:
\[
\mathrm{ord}_\tau(f) = -\sum_{\sigma \ssupface \tau} \omega(\sigma) f(\e_{\sigma/\tau}) + f_\tau\Bigl(\sum_{\sigma \ssupface \tau} \omega(\sigma) \e_{\sigma/\tau}\Bigr),
\]
où la somme porte sur tous les cônes $\sigma \in \Sigma_d$ contenant $\tau$ comme face.

\begin{prop}\label{prop:balancing_divisor}
Avec les notations précédentes, $\mathrm{ord}(f)$ est un élément de $MW_{d-1}(\Sigma)$.
\end{prop}

\begin{proof}
Une preuve dans le cas des éventails rationnels peut être consultée dans~\cite{AR10, AP25}. Elle s'étend au cas plus général discuté ici.
\end{proof}

On dit que $f$ est \emph{holomorphe} si $\mathrm{ord}$ prend seulement des valeurs positives.

\subsection{Opérations sur les éventails tropicaux}

\subsubsection{Produit} Soient $(\Sigma_1, \omega_1)$ et $(\Sigma_2, \omega_2)$ deux éventails tropicaux de dimension $d_1$ et $d_2$ dans les espaces vectoriels $N_1$ et $N_2$, respectivement. On~définit le produit $(\Sigma_1, \omega_1) \times (\Sigma_2, \omega_2)$ de la manière suivante.

Soit $\Sigma = \Sigma_1 \times \Sigma_2$ l'éventail dans $N_1 \times N_2$ dont les cônes sont de la forme $\sigma_1 \times \sigma_2$, pour $\sigma_j \in \Sigma_j$. C'est un éventail simplicial de dimension pure $d = d_1 + d_2$.

Les rayons de $\Sigma$ sont l'union des rayons de $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$. $\Sigma$ est donc naturellement un éventail muni.

Les cônes maximaux de $\Sigma$ sont de la forme $\sigma = \sigma_1 \times \sigma_2$ avec $\dim(\sigma_j) = d_j$. On~pose $\omega(\sigma) = \omega_1(\sigma_1) \times \omega_2(\sigma_2)$. On~vérifie que $\omega \in MW_{d}(\Sigma)$. Comme $\omega > 0$, $(\Sigma, \omega)$ est un éventail tropical. On~pose
\[
(\Sigma, \omega) = (\Sigma_1, \omega_1) \times (\Sigma_2, \omega_2).
\]

\subsubsection{Subdivision}
Soit $\Sigma$ un éventail muni dans l'espace vectoriel~$N$. Soit $\sigma \in \Sigma$ un cône non nul, et soit $\zeta$ un rayon engendré par un vecteur $\mathfrak v$ situé dans l’intérieur relatif de $\sigma$. La~\emph{subdivision de $\Sigma$ le long de $\zeta$} consiste à ajouter $\zeta$ comme nouveau rayon, et à subdiviser chaque cône $\eta \in \Sigma$ contenant $\sigma$ comme face, en remplaçant $\eta$ par des cônes $\theta$ de la forme \emph{enveloppe convexe de $\tau$ et $\zeta$}, à condition que~$\theta$ rencontre l’intérieur relatif de $\eta$, où $\tau$ est une face propre de $\eta$ ne contenant pas $\sigma$.

On obtient ainsi un nouvel éventail ayant le même support que~$\Sigma$, que l’on note $\Sigma_{(\zeta)}$. On~associe au nouveau rayon $\zeta$ le vecteur générateur $\e_\zeta = \mathfrak v$, ce qui munit $\Sigma_{(\zeta)}$ d’une structure d’éventail muni.

Réciproquement, si $\Sigma'$ est la subdivision d’un éventail $\Sigma$ le long d’un rayon $\zeta$, alors $\Sigma$ est appelé un \emph{assemblage de $\Sigma'$}. Il est muni si~$\Sigma'$ l'est.

Soit maintenant $(\Sigma, \omega)$ un éventail tropical de dimension $d$, et soit $\Sigma' = \Sigma_{(\zeta)}$ une subdivision de $\Sigma$ obtenue en ajoutant un rayon $\zeta$ engendré par un vecteur $\mathfrak v$ situé à l’intérieur relatif d’un cône $\sigma \in \Sigma$.

Pour chaque cône $\eta \in \Sigma$ de dimension $d$, les nouveaux cônes $\theta$ de dimension $d$ issus du remplacement de $\eta$ sont ceux de la forme $\theta$ ci-dessus, où $\tau$ est une face de dimension $d-1$ de $\eta$. Si $\varrho_1, \dots, \varrho_{d-1}$ sont les rayons de $\tau$, on définit:
\[
\omega'(\theta) = \frac{\omega(\eta)}{\abs{\det(\mathfrak v, \e_{\varrho_1}, \dots, \e_{\varrho_{d-1}})}}.
\]

Pour les cônes $\sigma$ de $\Sigma$ qui ne sont pas affectés par la subdivision, on pose simplement $\omega'(\sigma) = \omega(\sigma)$.

Alors, $(\Sigma', \omega')$ est un éventail tropical: la nouvelle fonction $\omega'$ est clairement strictement positive, elle satisfait en outre la condition d’équilibre.

\subsubsection{Modification tropicale} On introduit maintenant une troisième opération sur les éventails tropicaux appelée \emph{modification tropicale}, introduite par Mikhalkin dans~\cite{Mik}, qui préserve la propriété d'être un éventail tropical. Pour plus détails, voir~\cite{BIMS15}.

Soit $(\Sigma, \omega)$ un éventail tropical de dimension $d$ dans un espace vectoriel $N$.
Soit $f$ une fonction holomorphe sur $\Sigma$. Soit $\Delta$ le sous-éventail de $\Sigma$ donné par les $\tau\in \Sigma_{d-1}$ avec $\mathrm{ord}_\tau(f)\neq 0$, et toutes leur faces.

La modification tropicale de $\Sigma$ par rapport à $f$ est définie de la manière suivante. Il s'agira d'un éventail dans $\wt N = N \times \R$ que nous désignerons par $\wt \Sigma$.

Soit $\Phi$ l'application graphe de $f$
\[
\begin{array}{rccc}
\Phi \colon & \supp\Sigma & \longrightarrow & \wt N = N \times \R, \\
& x & \longmapsto & (x, f(x)).
\end{array}
\]
Pour chaque cône $\sigma$ de $\Sigma$, $\Phi(\sigma)$ est un cône dans $\wt N$. De plus, à~chaque face $\delta$ de $\Delta$, nous associons la face $\widehat \delta = \Phi(\delta) + \R_{\geq 0} \etm$, où $\etm = (0, 1) \in N \times \R$, c'est-à-dire, $0$ dans $\etm$ fait référence à l'origine dans $N$.

La \emph{modification tropicale de\/ $\Sigma$ par rapport à $f$} est l'éventail $\wt \Sigma$ dans $\wt N = N\times \R$ défini par
\[
\wt \Sigma = \bigl\{\, \Phi(\sigma) \mid \sigma \in \Sigma \,\bigr\} \cup \bigl\{\, \widehat\delta \mid \delta \in \Delta \,\bigr\}.
\]
C'est un éventail de dimension pure $d$. On~donne au nouveau rayon $\R_{\geq 0}\etm$ le vecteur générateur $\etm$, et a1 chaque autre rayon $\Phi(\varrho)$ on donne le vecteur générateur $\Phi(\e_\varrho)$. Avec ces choix, $\wt \Sigma$ est un éventail muni. De plus, on définit $\wt \omega \colon \wt \Sigma_d \to \R$ par
\[
\wt \omega(\Phi(\sigma)) =\omega(\sigma) \text{ et } \wt \omega(\widehat\delta) = \mathrm{ord}_{\delta}(f) \quad \text{pour tout $\sigma\in \Sigma_d$ et $\delta\in \Delta_{d-1}$}.
\]

\begin{prop} \label{prop:balancing_trop_modif}
Le couple $(\wt \Sigma,\wt \omega)$ est un éventail tropical.
\end{prop}
Notons que $(\Delta, \mathrm{ord}(f))$ est lui-même un éventail tropical. Il est appelé \emph{centre de la modification}.

\subsection{Éventails quasi-linéaires} À l'aide des trois opérations définies dans la section précédente, on définit la classe des éventails quasi-linéaires.

On considère l'unique éventail complet dans $\R$ muni du choix des vecteurs générateurs entiers primitifs $1$ et $-1$ de deux rayons. Pour chaque nombre $\lambda > 0$, on trouve un éventail tropical $D_\lambda$ dans $\R$ en donnant la valeur $\lambda$ aux deux rayons. On~définit la classe des éventails quasi-linéaires comme les éventails tropicaux qui peuvent être obtenus en partant de la collection $D_\lambda$, $\lambda > 0$, par une combinaison de produits d'éventails quasi-linéaires déjà construits, subdivisions ou assemblages d'éventails quasi-linéaires déjà construits, et modification tropicale d'un éventail quasi-linéaire déjà obtenu avec un centre qui est lui-même quasi-linéaire déjà construit. De manière un peu plus précise, c'est la plus petite classe d'éventails tropicaux contenant $D_\lambda$, $\lambda >0$, stable

\begin{itemize}
\item par produit,
\item par subdivision et par assemblage,
\item par modification tropicale le long d'un centre appartenant à la classe.
\end{itemize}

\skpt
\begin{example}
\begin{itemize}
\item Tout éventail tropical complet est quasi-linéaire.
\item L'éventail de Bergman d'un treillis géométrique est quasi-linéaire. L'opération de contraction et de suppression d’un élément dans le treillis correspond à une modification tropicale (du support) de l’éventail de Bergman du treillis obtenu en supprimant l’élément, avec pour centre (le support de) l’éventail de Bergman du treillis obtenu par contraction, voir~\cite{Shaw, AP25}.\qedhere
\end{itemize}
\end{example}

\begin{thm}[\cite{AP25}]
L'algèbre de Chow d'un éventail quasi-linéaire quasi-projectif satisfait aux propriétés kählériennes.
\end{thm}

\begin{proof} On démontre que les propriétés kählériennes sont préservées par les trois opérations introduites dans la construction des éventails quasi-linéaires. À la fin, on~se ramène à vérifier l'énoncé du théorème pour les éventails $D_\lambda$, ce qui se fait à la main.
\end{proof}
\begin{cor} L'algèbre de Chow d'un matroïde satisfait aux propriétés kählériennes.
\end{cor}

\backmatter
\bibliographystyle{jepalpha+eid}
\bibliography{xups25-01}
\end{document}
